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確率に関する問題なんですが… 1つの箱に黒球6個,白球6個が入っている。いまその...

bra********さん

2009/2/1001:27:22

確率に関する問題なんですが…
1つの箱に黒球6個,白球6個が入っている。いまそのなかから最初にAが3個取り出し,次にその残りからBが5個取り出すとする。 このとき,A,B2人の取り出す白球の個数が等しくなる確率を求めよ。
という問題で、場合分けをすると思うんですが…なかなか答えにたどりつけません↓ どなたか考え方を教えて下さい

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ベストアンサーに選ばれた回答

編集あり2009/2/1022:54:09

A が 3 個取り出し、そのうちn個が白である(黒が3-n個である)確率は
6Cn・6C(3-n) / 12C3 ・・・超幾何分布という。
このとき、残っているのは白が 6-n 個、黒が6-(3-n) = 3+n 個
ここから B が5個取り出し、そのうち n 個が白である(黒が5-n個である)確率は
(6-n)Cn・(3+n)C(5-n) / 9C5 ・・・こいつも超幾何分布
よって、A, Bが共にn個の白を取り出す確率は、
6Cn・6C(3-n)・(6-n)Cn・(3+n)C(5-n) / (12C3・9C5) ・・・(*)
(これを整理しても勿論よいけれど、さほど単純な式にはなりません)
ここで、nの取りうる値の範囲は、6-n≧n より n≦3, かつ 3+n≧5-n より n≧1 だから、n = 1,2,3 (あたりまえだけどA,B共に白が0個は有り得ません。黒がそんなにたくさん無いんだから)
ということで、A, B 二人の白玉を取り出す個数が等しくなる確率は、n=1,2,3 について (*) の和をとって

(6C1・6C2・5C1・4C4 + 6C2・6C1・4C2・5C3 + 6C3・6C0・3C3・6C2) / (12C3・9C5)
=(6・15・5・1 + 15・6・6・10 + 20・1・1・15) / 27720
= 205/924
(計算間違いしてるかも)

質問した人からのコメント

2009/2/11 17:10:22

超幾何分布というのは習っておりませんが…そういう使い方もあるんですね! ありがとうございました

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

Realさん

編集あり2009/2/1001:50:34

○○○○○○ ●●●●●●
A: [ ][ ][ ]
B: [ ][ ][ ][ ][ ]

白球 0,1,2,3の4通りを考えればよい
あとは愚直に計算するしかないと思う。
Aに関しては、対象性を考慮して計算を省略できるが、Bは気合で計算するしかない。
細かい計算は自力でやってみてください。

Pa(0) = 6P3/12P3 = 6*5*4/(12*11*10) = 1/11
Pa(1) = 6P2*6P1*3C1/12P3 = 6*5*6*3/(12*11*10) = 9/22
Pa(2) = 6P1*6P2*3C2/12P3 = 9/22
Pa(3) = 6P3/12P3 =1/11

Pb(0) = 6P6/12P6
Pb(1) = 6P5*6P1*6C1/12P6
Pb(2) = 6P4*6P2*6C2/12P6
Pb(3) = 6P3*6P3*6C3/12P6

求める確率
=Σ(k=0->3)(Pa(k)*Pb(k))
=Pa(0)*Pb(0)+Pa(1)*Pb(1)+Pa(2)*Pb(2)+Pa(3)*Pb(3)

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