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2020/10/18 10:22

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中学数学です。

中学数学です。 8個の約数をもつ最も小さい正の整数を答えなさい。 詳しく解説願います。

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ベストアンサー

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こういうの中学でやるんですかね。 ●約数の数 自然数nを素因数分解したとき、 n = p^a × q^b × r^c となったとします。 ここに、 p,q,r : 素因数 a,b,c : 自然数 です。 約数は、以下の形で表せます。 p^(0~a) × q^(0~b) × r^(0~c) したがって、約数の個数はそれぞれの素因数で p^0~p^a - (a+1)通り q^0~q^b - (b+1)通り r^0~r^c - (c+1)通り の掛け合わせになるので、 (a+1)(b+1)(c+1)個 と示せます。 ●約数が8個の数 ・素因数が1個だけの場合 a+1 = 8 a = 7 n = p^7 7乗はかなり大きいので、考えない。 ・素因数が2個の場合 (a+1)(b+1) = 8 a = 3 b = 1 n = p^3 × q^1 考えられるもっとも小さい数は、素数を小さい順に入れて、p=2 , q=3 n = 2^3 × 3 = 24 ・素因数が3個の場合 (a+1)(b+1)(c+1) = 8 a = 1 b = 1 c = 1 n = p×q×r 考えられるもっとも小さい数は、p=2 , q=3 , r=5 n = 2×3×5 = 30 答 24

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質問者

2020/10/18 11:47

ありがとうございます! よく分かりました ちなみに、下の問題も分かりましたら、お答え願います(>人<;) 記号<a>は自然数aの約数の個数を表すものとする。例えば<6>=4である。 <a>×<b>=4のとき、<ab>の値を全て求めなさい。 ぜひご教示願います。

ThanksImg質問者からのお礼コメント

本当にありがとうございました!!

お礼日時:10/23 4:12

その他の回答(1件)

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元数Nを素因数分解したときに N=Aª・Bᵏ・Cⁿ A,B,C:素因数、a,k,n:べき乗 となるとすると 約数の個数=(a+1)*(k+1)*(n+1) となる 上記の説明から、約数が8個となるのは ①A⁷ ②A³・B¹ ③A¹・B¹・C¹ のどれかになる 題意は、最小の数を求めているから、A,B,Cは順番に小さな素数として ①2⁷ ②2³・3¹ ③2¹・3¹・5¹ とならなければならないから ①128 ②48 ③30 となる ①②③の最小の数から 30…答