高校数学 一次微分は接線の傾きを求めたり位置エネルギーを微分して力を出したり…など 二次微分は変曲点を求めたり…など

高校数学 一次微分は接線の傾きを求めたり位置エネルギーを微分して力を出したり…など 二次微分は変曲点を求めたり…など 一次、二次微分はそれなりに色々と役立ちますが、三次以降は何か役立つのでしょうか? また、n次微分は何か役立つのでしょうか?

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数学的には前の回答者さんが書いているように一般のn次微分まで考えた数学の理論や計算があり、それを元にした様々な関数や公式や計算法がありますので、間接的に使っていることはたくさんあります。 それ以外に具体的に現実の世界で実際に使用する例としては、例えば位置の1次微分は速度、2次微分は加速度ということは知っていますね。電車の運転を考えた場合、運動方程式Ma=Fにより乗っている人は加速度に比例した力を受けます。従っていきなり一定の加速度で発車すると乗客は突然ある大きさの力を受けるのでどつかれたように倒れそうになります。そこでその力を徐々に大きくしていくことが必要になり、そのためには位置の3次微分である加々速度を考慮する必要があります。 実際にはそこまでしか考えないと加速減速に時間がかかってしまうので、最低でも加速度の2次微分、即ち位置の4次微分まで考えてある一定の距離で時間をかけずにかつ乗り心地良く停止する為にはどのように加々々速度=4次微分をコントロールすべきかということを考えます。遅い電車だったら慣れた運転手さんが勘と経験でやりますが、新幹線のように速い電車ではそこまで考えた微分方程式を解いて最適コントロールを考えています。最低で4次微分ですから、更に細かいことを考えれば5次微分、6次微分・・・ときりがありません。 また、家の柱や梁、ビルの鉄筋コンクリート、橋の鋼材など、ほとんどの建造物などの基礎理論となっているものに梁理論というのがあります。これは1本の棒に力をかけた時にそこにはどのくらいの応力(内部の力)が発生するかとか、どのくらいたわむか(変形するか)とかを計算する理論です。この理論では、たわみの1次微分がたわみ角(傾斜)、その微分が力モーメントに比例、その微分が力の分布になります。都合、たわみを4回微分した関数が棒にかかっている力の分布関数ということです。従って梁理論ではこの4階の微分方程式を解くことになります。(「4回微分した」というのは微分の回数、「4階の微分方程式」というのは微分方程式については微分の最高次数をもってその微分方程式の階数というので、紛らわしいですが誤字ではありません。為念。)よって、家もビルも橋も飛行機も船も、4次微分のお世話になって設計されています。これも、梁理論というのは構造力学では最も簡単な数学モデルですから、実際にはこれだけではすまないもっと詳細な高次解析がなされています。

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大学で学ぶテイラー展開(※)を使うことで、関数をn次多項式で近似するときなどに役に立ちます n次多項式で近似するにはn+1回微分する必要があります。 よりよい近似値を得ようと思ったら、nを大きくする必要があります。 例えばsin(π/7)の近似値を求めようと思ったら、sinxをテーラー展開して近似したn次多項式に、x=π/7を代入すれば求められます。(πの近似値も三角関数の逆関数のテイラー展開を使って求められます) sin(π/7)の近似値は、関数電卓やPCを使えば簡単に計算できますが、 関数電卓やPCはテイラー展開を元に計算しているのではないかと思います(※※) (※)テイラー展開は応用上も、理論上も非常に重要な定理です。 (※※)私は詳しくないので分かりませんが、テイラー展開そのものではなく、類似したものを使っている可能性もあります。