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2021/1/12 10:30

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(3x²+3x+1)/(x³+2x²+2x+1)の不定積分を求める問題で部分分数分解をしたのですが、赤線の部分の積分が上手くいきません。どうすればいいか教えていただきたいです。

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I=∫2xdx/(x^2+x+1) u=x+1/2, x=u-1/2 とおくと x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4=u^2+3/4 dx=duなので I=∫2xdx/(x^2+x+1)=∫(2u-1)du/(u^2+3/4) =∫2udu/(u^2+3/4)-∫du/(u^2+3/4)=I1-I2 I1=∫2udu/(u^2+3/4), I2=∫du/(u^2+3/4) v=u^2とおくとdv=2udu I1=∫2udu/(u^2+3/4)=∫dv/(v+3/4)=log(v+3/4)=log(u^2+3/4) =log(x^2+x+1) I2=∫du/(u^2+3/4)=(2/√3)atctan(2/√3u)=(2/√3)atctan(2/√3(x+1/2)) =(2/√3)atctan((2x+1)/√3) (公式∫dx/(x^2+a^2)=(1/a)arctan(x/a)による。) I=I1-I2=log(x^2+x+1)-(2/√3)atctan((2x+1)/√3)+C

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W={(3x^2+3x+1)/(x^3+2x^2+2x+1)}dx =log(x^3+2x^2+2x+1)+(2√(3)/3)arctan{(2√(3)/3)(x+1/2)}