二十積分についてです。 球面x^2 + y^2 + z^2 = 4が 円柱x^2 + y^2 ≦ 2xより切り取られる面積を求めよ。

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お礼日時:1/20 19:00

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x = r sinθcosφ, y = r sinθsinφ, z = r cosθ より球面上の面積要素は dS = r^2sinθ dθdφ. z > 0, y > 0 に着目する。 円柱が示す範囲は r^2 (sinθ)^2 < 2 r sinθcosφ, r sinθ < 2 cosφ. r = 2 上で sinθ < cosφ = sin(π/2-φ) D := {(θ,φ); 0 < θ < π/2 - φ, 0 < φ < π/2}. S/4 = ∫[D] dS = 4∫[0,π/2]dφ∫[0,π/2-φ]dθ sinθ = 4∫[0,π/2]dφ[-cosθ]_[0,π/2-φ] = 4∫[0,π/2]dφ(-cos(π/2-φ) + 1) = 4∫[0,π/2]dφ(-sinφ + 1) = 4[φ + cosφ]_[0,π/2] = 4(π/2) - 1, S = 4(2π - 1).