のずる

2021/1/21 7:06

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中学数学 ルートからの出題です。

中学数学 ルートからの出題です。 よろしくお願いします。 nを整数とする。 また、1以上100以下の整数mに対し、 √(m/n)(添付画像を表している)が整数となる nの個数をp個とする。 p=4となるmは全部で何個あるか。

画像

中学数学 | 高校受験・71閲覧

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ベストアンサー

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朝倉涼子

2021/1/21 9:49

m/n=k² ∴ n=m/k² これを満たす (k,n) の組が、ちょうど 4つであるm つまり m は平方数の約数を4つだけ持つ となれば m=(ab)²c または m=a⁶c （a,b は異なる素数、c=1 または cは平方数ではない） で m≤100 となるのは m=(ab)²c パターンで (a,b,c)=(2,3,1),(2,3,2),(2,5,1) m=a⁶c パターンは (a,c)=(2,1) のみ すなわち m は 36,64,72,100 の4個である

朝倉涼子

2021/1/21 10:31

もっと簡単に解けたか mは平方数の約数を4つだけ持つのだから、その4つの約数は 1 , a² , b² , (ab)²　（ 2≤a<b) で　(ab)²≤100 だから ab≤10 (a,b)=(2,3),(2,4),(2,5) すなわち (ab)²= 36,64,100 しかありえず、このうち 36 だけが 2倍しても 100以下だから m = 36 , 64 , 72 , 100

ThanksImg質問者からのお礼コメント

なるほど！ 問題の解答を見ても解き方が載ってなかったので助かります！ ありがとうございました！

お礼日時：1/24 13:50

その他の回答（2件）

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Mohlin

2021/1/21 10:49

√(m/n)を有理化すると、√(mn)/nですね。 今回、1≦m≦100だから、√(m/n)の最大値は√(100/1)=√100=10。よって、商は1≦√(m/n)≦10の範囲で考えればいいですね。 ↓ √(mn)=1のとき、m=n=1の1通り。つまり、p=1。 ↓ √(mn)=2のとき、mn=4だから、(m,n)=(1,4)=(2,2)=(4,1)の3通り。ただし、(m,n)=(1,4)のとき、商は2/4=1/2となり、整数ではないので、p=2。 ↓ √(mn)=3のとき、mn=9だから、(m,n)=(1,9)=(3,3)=(9,1)の3通り。ただし、(m,n)=(1,9)のとき、商は3/9=1/3となり、整数ではないので、p=2。 ↓ √(mn)=4のとき、mn=16だから、(m,n)=(1,16)=(2,8)=(4,4)=(8,2)=(16,1)の5通り。ただし、(m,n)=(1,16)のとき、商は4/16=1/4。(m,n)=(2,8)のとき、商は4/8=1/2。いずれも整数ではないので、p=3。 ↓ ここまでで、√(m/n)が整数になるためには、m≥nを満たすことが判明しましたね。 ↓ √(mn)=5のとき、mn=25だから、(m,n)=(5,5)=(25,1)。よって、p=2。 ↓ √(mn)=6のとき、mn=36だから、(m,n)=(6,6)=(9,4)=(12,3)=(18,2)=(36,1)。よって、p=5。 ↓ √(mn)=7のとき、mn=49だから、(m,n)=(7,7)=(49,1)。よって、p=2。 ↓ √(mn)=8のとき、mn=64だから、(m,n)=(8,8)=(16,4)=(32,2)=(64,1)。よって、p=4。 ↓ √(mn)=9のとき、mn=81だから、(m,n)=(9,9)=(27,3)=(81,1)。よって、p=3。 ↓ √(mn)=10のとき、mn=100だから、(m,n)=(10,10)=(20,5)=(25,4)=(50,2)=(100,1)。よって、p=5。 ↓ 以上をまとめると、p=4ってことは、nが4個ってことだから、√(mn)（ただし m≥n）もnの個数に準じて4個となり、結局、mも4個となるわけですね。 したがって、p=4となるmは全部で4個。

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飯塚順天堂

2021/1/21 10:17

2×3×4の2乗は576。 2から100までの平方数は 4、9、16、25、49、64、81、100。 101から400だと 121、144、169、196、225、256、289、324、361、400。 ということで、6～10の2乗に当たる 36、49、64、81、100が正解。 ちなみに立法数は 8、27、64、125、216、343、512、729、1000 （64と729は2乗数でも6乗数でもあり複合立法数）