代数学についての質問です。
代数学についての質問です。 R 係数多項式環 R[x] において, 単項イデアル I = (x^2 + 1) をとるとるとき, 剰余環R[x]/I を考える。 R[x]/I の任意の元（剰余類）は a + bx = a + bx + I (a, b ∈ R) の形で表される（講義で説明済）。 このときa + bx + I = a′ + b′x + I ⇔ a = a′, b = b′を示せ。 これが分かりません。よろしくお願いします。
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ベストアンサー
剰余環の定義から、a+bx+I=a'+b'x+Iのとき (a+bx)-(a'+b'x) ∈ I となります。これはつまり (a-a')+(b-b')x ∈ I のことですから、多項式f(x)で (a-a')+(b-b')x=(x^2+1)f(x) を満たすものが存在します。 しかし、左辺は高々１次なのでf(x)=0でなければなりません。 なぜならf(x)が0でなければ右辺が２次以上の多項式になるからです。 したがって、(a-a')+(b-b')x=0 となりますが、これは多項式環の定義から a-a'=0 かつ b-b'=0 のことなので、a=a' かつ b=b' となります。 もしかすると、もっと良い説明があるかもしれませんが、 参考にしてください。
質問者からのお礼コメント
理解できました！ 困っていたのでほんとにありがとうございます！
お礼日時：1/27 10:42
