Dを通りBGに平行な直線を引き、辺BCをB側に延長した直線との交点をHとします。
Aから辺BCに下ろした垂線とBCとの交点をJとします。
△ABCは直角三角形だから、三平方の定理より、
AC=√(BC^2-AB^2)=√(6^2-4^2)=√20=2√5
BJ=x、CJ=y とすると、
x+y=6 ・・・①
△ABJ、△ACJにおける三平方の定理より、
AJ^2=4^2-x^2=(2√5)^2-y^2
x^2-y^2=16-20
(x+y)(x-y)=-4
①より、
x-y=-2/3 ・・・②
①②より、
x=8/3㎝=BJ
y=10/3㎝=CJ
△ABJ(△ACJでも可)において、
AB=4、BJ=8/3、三平方の定理より、
AJ=(4/3)√5 ・・・③
証明は省きますが、
△ABJ≡△BDH だから、
AJ=BH=(4/3)√5㎝=(△BDGでBGを底辺としたときの高さ)
(△BDGの面積)=6*(4/3)√5*1/2=4√5㎠ ・・・答
以上のように考えましたがいかがでしょうか?