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2021/3/1 17:52

33回答

どんな正方行列でも少しずらせば対角化可能な行列になるとみかけたのですが本当ですか?

数学 | 大学数学69閲覧

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n次正方行列Aが P^{-1}AP=J とジョルダン標準形になるとする。 ただし、j_{ii}<j_{i+1,i+1} (i=1,2,...,n-1) となるように固有値の並び順を定める。 ε>0として A+ε P diag(0,1,...,n-1) P^{-1} は対角化可能。 Aが対角化可能でない場合 A+ε E もまた対角化不可能。

その他の回答(2件)

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「その点の任意の近傍が対角化可能な行列を含む」 は正しいけれど 「その点を除いて対角化可能な行列のみからなる近傍がとれる」 は間違っているので、一応。

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質問者

2021/3/2 14:21

ありがとうございます!感謝いたします!

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そうですね。厳密には、n次複素行列の全体をM_n(C)と書いたとき、 「対角化可能な複素行列の全体は、M_n(C)で稠密である」 というのが成立します。「稠密」というのは、直感的には、どんな複素行列の、どれほど近くにも対角化可能な行列がある、ということで、まさに今回考えていることです。 ただ「正方行列全体を考えた時に、どの点に対しても、その点を除いて対角行列のみからなる近傍がとれるということですか」というのはちょっと違う気がします。あくまでどれほど近くにも対角化可能行列がある、というだけで、近傍が全部対角化可能行列になるとまでは言えません。 証明については、英語ですが https://math.stackexchange.com/a/107975/691829 というのが見つけられました。 もし翻訳が必要であれば言ってください。

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質問者

2021/3/2 14:21

詳しく教えていただきありがとうございます!