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2021/4/11 12:37

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11分の7=x分の1+y分の1+z分の1 のx,y,zの求め方を教えてください。 x.y.zは正の整数です。

算数 | 数学26閲覧

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

わかりやすい解説ありがとうございます

お礼日時:4/22 18:12

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設問 1/x+1/y+1/z=7/11…① x,y,zを x≧y≧z≧1…② とする ②から 1/x≦1/y≦1/z…③ となる ➀と②から 7/11=1/x+1/y+1/z≦3/z…④ となるから z≦33/7=3+5/7…⑤ zは整数であるから、z=1,2,3となる (1)z=1の時 1/x+1/y+1=7/11⇒1/x+1/y=-4/11 となり、x,yの正である条件に不適合なので、解なし (2)z=2の時 1/x+1/y+1/2=7/11…⑥ 式を整理して xy-(22/3)x-(22/3)y=0 (x-22/3)(y-22/3)=(22/3)²…⑥′ ⑥'*3² (3x-22)(3y-22)=22²…⑥'' z=2だから、②から、3y-22≧-16だから、⑥''になりうる組合せは (3x-22,3y-22)=(-11,-11),(484,1),(242,2),(121,4),(44,11),(22,22)…⑦ ⑦から (x,y)=(11/3,11/3),(506/3,23/3),(88,8),(143/3,26/3),(22,11),(44/3,44/3)…⑦' となるので、整数の組合せから(z=2も加えて) (x,y,z)=(88,8,2),(22,11,2) (3)z=3の時 1/x+1/y+1/3=7/11…⑧ 式を整理して xy-(33/10)x-(33/10)y=0 (x-33/10)(y-33/10)=(33/10)²…⑧′ ⑧'*10² (10x-33)(10y-33)=33²…⑨'' z=3だから、②から、10y-33≧-3だから、⑨''になりうる組合せは (10x-33,10y-33)=(1089,1),(363,3),(121,9),(99,11),(33,33)…⑩ ⑩から (x,y)=(561/5,17/5),(198/5,18/5),(77/5,21/5),(66/5,22/5)(33/5,33/5)…⑩' となるので、整数の組合せはない 以上(1)(2)(3)から(勝手に②と設定したから) x,y,zの3数は、(2,8,88),(2,11,22)の組合せ…答

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エジプト式分数の問題ですね。 7つのものを11人で分けるとき1人いくらもらえるか?という問題のとき 現代では7÷11=7/11(11分の7)と求めますよね。 でも古代エジプトでは違いました。分子が1である分数を単位分数というのですが現代の7/11を単位分数の和で表しました。やり方は次の通りです。 7つのものを11人で分けるとき、7つのものをまず全部半分に切って1/2を 14個作ります。そうすると11人に1/2が1個ずつあたり1/2が3個残ります。 この残り1/2 3個も11人に分けます。そうすると3個の1/2を2等分すると1/4が6個できますが11人に分けられません。3個の1/2を3等分しても1/6が9個できて11人に分けられません。それで3個の1/2を4等分すると1/8が12個できて 11人に1/8が1個ずつ分けられて1/8が1個残ります。その1/8を11人で分けたら1/8を11等分して1/88が1個ずつ当たって余りがありません。したがって7つのものを11人で分けるとき、1人当たり1/2+1/8+1/88もらうことになりますから7/11=1/2+1/8+1/88が成り立ちます。よってx=2,y=8,z=88となります。