△ABCの内部に点Gをとり、 AGとBCの交点をP、 BGとCAの交点をQ、 CGとABの交点をR とする。 △ABC∽△PQRであるとき 点Gは△ABCの重心である

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

さすが、としか言いようがありません。 幾何の該博な知識に裏打ちされた確かな自信がないとこの方針で完遂するのは無理です…。△PQRと△DEFで点Kが不動に気付くのだけでも大変なので…。私にはとても無理…。 もうひとつの回答も、はじめ読んだときは狐につままれたようでしたが、おっしゃるように△AQ'R'をとると、Q',R'がB,Cに一致するのも当然という気がしてきました。 ありがとうございました。

お礼日時:6/13 15:18

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図2のように GP:GP'=GQ:GQ'=GR:GR'=1:k となる点P', Q', R'をそれぞれ、直線AGP, BGQ, CGR上にとると PQ∥P'Q', QR∥Q'R', RP∥R'P' PQ:P'Q'=QR:Q'R'=RP:R'P'=k:1 で、△PQR∽△P'Q'R' である k<0の場合は、点P'を直線AGPのGよりA側にとるものとすれば 同様に、△PQR∽△P'Q'R'である また、△ABC∽△PQRだから △ABC∽△P'Q'R' いま、k=-GA/GPとして、△P'Q'R'をつくると 点AとP'は一致し、Q', R'はそれぞれ、直線BGQ, CGR上にある 図3のように、点BとQ'が一致せず、GB<GQ'と仮定すると △ABC∽△P'Q'R'より、∠CAB=∠R'P'Q'だから GC>GR' このとき、 ∠ABD>∠P'Q'D, ∠ACD<∠P'R'D となって、△ABC∽△P'Q'R'に矛盾する GB>GQ'と仮定しても、同様に矛盾する よって、△ABCと△P'Q'R'は一致し k=-GA/GP=-GB/GQ=-GC/GR GA:GB:GC=GP:GQ:GR=-k:1 … (*) (*)より、△GBC∽△GQRで相似比は -k:1 よって、BC∥QR, BC:QR=-k:1だから AR:RB=AR:(AB-AR)=1:(-k-1) …① 同様に、△GCA∽△GRPより AR:RB=(BA-BR):BR=(-k-1):1 …② ①②より (-k-1)²=1 ∴ k=-2 このとき、点P, Q, Rは、それぞれ辺BC, CA, ABの中点となり、 点Gは△ABCの重心である (証明終)

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ゴールが見えてきたので、さらっと >よって、△ABCと△P'Q'R'は一致し >k=-GA/GP=-GB/GQ=-GC/GR と書いてしまいましたが、補足すると k=-GA/GPとして、△P'Q'R'をつくったので GQ'=-kGQ, GR'=-kGR (k<0に注意して、負の符号を付けている) いま、BとQ’、CとR'が一致するとわかったので GB=-kGQ, GC=-kGR ∴ k=-GA/GP=-GB/GQ=-GC/GR ※最初はベクトルを使えばきれいにできるだろうと思ったものの、案外計算が煩雑なので、方針転換。 初等幾何だけで証明できました。