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2021/6/16 20:00

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n個の白い球があります。

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n>m として,試行Aをm回行ったとき、赤い球の数の期待値を E(m) とします。 E(m)={n^m-(n-1)^m}/n^(m-1) と推測できました。 赤い球の数が確率変数 X で,X=r となる確率を P(X=r)=p(r) とします。 %%%%%%%%%%%% m=1 のとき,E(1)=1*p(1)=1*1=1 %%%%%%%%%%%% m=2 のとき 白球が出ると赤球が 1 個増える。 12 白赤 → p(1)=1*(1/n)=1/n 白白 → p(2)=1-1/n=(n-1)/n E(2)=1*(1/n)+2*1*{(n-1)/n}=(2n-1)/n={n^2-(n^2-2n+1)}/n={n^2-(n-1)^2}/n %%%%%%%%%%%% m=3 のとき 123 白赤赤 → p(1)=1*(1/n)*(1/n)=1/n^2 白赤白 白白赤 白白白 → p(3)=1*{(n-1)/n}*{(n-2)/n}=(n-1)(n-2)/n^2 余事象の確率で p(2)=1-{1/n^2+(n-1)(n-2)/n^2}=3(n-1)/n^2 E(3)=1*(1/n^2)+2*{3(n-1)/n^2}+3*{(n-1)(n-2)/n^2}=(3n^2-3n+1)/n^3={n^3-(n-1)^3}/n^2 %%%%%%%%%%%% m=4 のとき 1234 白赤赤赤 → p(1)=1*(1/n)*(1/n)*(1/n)=1/n^3 白赤赤白 白赤白赤 白白赤赤 白赤白白 白白赤白 白白白赤 白白白白 → p(3)=1*{(n-1)/n}*{(n-2)/n}*{(n-3)/n}=(n-1)(n-2)(n-3)/n^3 p(2)=1*(1/n)*(1/n)*{(n-1)/n}+1*(1/n)*{(n-1)/n}*(2/n)+1*{(n-1)/n}*(2/n)*(2/n)=7(n-1)/n^3 余事象の確率で p(3)=1-{1/n^3+7(n-1)/n^3+(n-1)(n-2)(n-3)/n^3}=6(n^2-3n+2)/n^3 E(4)=1*(1/n^3)+2*{7(n-1)/n^3}+3*{6(n^2-3n+2)/n^3}+4*{(n-1)(n-2)(n-3)/n^3} =(4n^3-6n^2+4n-1)/n^3={n^4-(n-1)^4}/n^3 証明は数学的帰納法でできると思います。