斜辺の長さが1である直角三角形で面積の最大値を求めよ。 という問題で、なるべく多くの解法を知りたいです。 ①sin,cosで三角関数で出す ②a^2+b^2=1からa^2b^2で4次関数を作って微分

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④相加相乗から求める。 が一番簡単です。 1=a^2+b^2≧2√(a^2b^2)=2ab より S=1/2ab≦1/4(等号はa=bで成立) となり、最大値は1/4 他に、ラグランジュの未定乗数法があります。

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④について 斜辺を直径ABとする円を考える 直角の頂点Cは円周上にあり、そこから斜辺に垂線下ろして交点Dとする。 AD=a,BD=bとすると、 △ACD∽△CBDから、 AD:DC=CD:DB DC=√ab 面積最大にするにはこれを最大にする。 で相加相乗平均使うと、最大は(a+b)/2とわかり、等号成立はa=bのとき。 つまりDが円の中心のとき。