藤岡敦「具体例から学ぶ多様体」に添付画像のようにして、接ベクトル束TMに位相を入れるとあります。(添付画像は同先生の講義資料)

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大学数学 | 数学82閲覧

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ご回答ありがとうございます。少し理解が進みました!まだわからないのは: (1)で定まる位相(π^(-1)(U)をTMの開集合とする)は分かるのですが、(1)(2)で定まる位相というのはさらにどういう条件がつくでしょうか? 具体的には(2)でφ~が同相になるようにしたいということは、 2-1. φ~を連続にしたい(つまりU×R^nの開集合Vの逆像φ~^(-1)(V)をTMの開集合とすればよい)--- これは分かる 2-2. φ~^(-1)も連続にしたい --- これを達成するためには何をすればよい?? という最後の箇所2-2がわかりません。 お手数をおかけしますが、ご教授いただけると助かります。よろしくお願いします。

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(1),(2)の条件は, TMがU×R^{n}を貼り合わせて構成されるという点で自然です. 両条件があればTMが位相空間となることを示せばよいでしょう. (i) U×R^{n}において空集合は開集合である. (2)より, π^{-1}(U)において空集合は開集合である. (1)より, TMにおいて空集合は開集合となる. TMの元(p, v)を任意に取ると, あるSの元(U, φ)が存在してpはUに属するから, (p, v)はπ^{-1}(U)に属する. (1)より, (p, v)はTMの内点となる. (p, v)は任意であったからTMはTMの開集合となる. (ii) TMの開集合O_{1}, O_{2}を任意に取る. O_{1}とO_{2}との共通部分から元(p, v)を任意に取る. あるSの元(U, φ)が存在してpはUに属するから, (p, v)はπ^{-1}(U)に属する. O_{1}とπ^{-1}(U)との共通部分はπ^{-1}(U)の開集合となる. (2)より, Uにおけるpの開近傍A_{1}と, R^{n}におけるφ(p)のある開近傍B_{1}とが存在して, (~φ)^{-1}(A_{1}×B_{1})はO_{1}とπ^{-1}(U)との共通部分に含まれる. 同様に議論することで, Uにおけるpの開近傍A_{2}と, R^{n}におけるφ(p)のある開近傍B_{2}とが存在して, (~φ)^{-1}(A_{2}×B_{2})はO_{2}とπ^{-1}(U)との共通部分に含まれる. 故に, AをA_{1}とA_{2}との共通部分, BをB_{1}とB_{2}との共通部分, として定めれば, AはUにおけるpの開近傍で, BはR^{n}におけるφ(p)の開近傍となる. (~φ)^{-1}(A×B)はπ^{-1}(U)における(p, v)の開近傍となり, しかもO_{1},O_{2},π^{-1}(U)の3つの共通部分に含まれるから, O_{1}とO_{2}との共通部分に含まれる. (1)より, (~φ)^{-1}(A×B)はTMにおける(p, v)の開近傍ともなる. 以上で, (p, v)はO_{1}とO_{2}との共通部分の内点となる. (p, v)は任意であったからO_{1}とO_{2}との共通部分はTMの開集合となる. (iii) (TMの開集合系で,しかも任意の濃度のものを任意に取り,それら全体の和集合が再びTMの開集合となることを,自らの手で験証されたい.) (i),(ii),(iii) より, (1)及び(2)を満たすTMの部分集合系はTMの位相となることが示された. 確かに, (1),(2)の条件を共に使用しているので,どちらかを欠かすとその部分集合系が位相空間になることを示せなくなります.といっても,いきなりこのように定義されても戸惑う気持ちはよくわかります. TMは集合からやっと位相空間となっただけなので,位相多様体となることを験証するためにはもう少し示す必要があります. 間違いがあればご指摘ください.

(ii)の冒頭で、「TMの開集合O_{1}, O_{2}を任意に取る」と記されていますが、TMの開集合とは何かをこれから決めようというときにこの表現が自分には理解できません。 おそらく最初の「TMがU×R^{n}を貼り合わせて構成される」というところにその意図するところが込められていて、もしかしてTMのある部分集合族が想定されていて、O_{1}、O_{2}はその部分集合族(この回答ではそれを「開集合」と呼んでいる?)の元だということでしょうか?