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2021/11/20 20:19

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自然数の集合が疎集合であることの証明について。

大学数学 | 数学120閲覧

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ℕはℝの閉集合なので(OKですか?)ℕの閉包はℕ自身です。 従ってintℕ=∅を見れば良いです。 内部とは内点の全体なので、ℕに内点が存在しないことを見ます。 あるN∈ℕがℕの内点だとすると、 ∃ε>0, B(N;ε):=(N-ε, N+ε)⊂ℕ となるはずですが、これは明らかに偽です。 何故ならどんなに小さくε>0をとったとしてもB(N;ε)には無数の実数が含まれるからです。(実数の稠密性) 従って、ℕに内点は存在しません。 すなわち、intℕ⁻=intℕ=∅となります。