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2022/1/12 22:03

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【至急】 大学数学です。画像の問題がわからないので教えていただきたいです。 定理4.3.8 「V,Wを有限次元の線型空間とする。このとき次のカノニカルな線形同型が存在する。Hom(V,W)∼=W ⊗V*」 ただしV*はVの双対空間

画像

大学数学 | 数学401閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">50

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(1) ρ_Hom(gh)Φ=ρ_Hom(g)ρ_Hom(g)Φ, g,h∈G を示します. ρ_V, ρ_W が表現(準同型)であることから証明できます. (2) F: W⊗ V*→Hom(V,W), (F(w⊗f))(v)=f(v)w (の逆写像)がカノニカル線形同型だと思います. ρ_(W⊗ V*)(g)(w⊗f)=(gw)⊗(gf) ですので、 F(ρ_(W⊗ V*)(g)(w⊗f))(v) =F((gw)⊗(gf))(v) =(gf)(v)g(w) =(f(g^{-1}v))ρ_W(g)(w) =f(ρ_V(g^{-1})v))ρ_W(g)(w) =ρ_W(g)(F(w⊗ f)(ρ_V(g^{-1})v) =(ρ_Hom(g)F(w⊗ f))(v). よって, F(ρ_(W⊗ V*)(g)(w⊗f))=ρ_Hom(g)F(w⊗ f) よって, Fは表現の同値であることがわかります。 従って F^{-1}(これがカノニカル同型と呼んでいるもの)も表現の同値です。 (3) Φが左辺の元⇔ρ_W(g)◦Φ=Φ◦ρ_V(g), g∈G ⇔ρ_W(g)◦Φ◦ρ_V(g^{-1})=Φ, g∈G ⇔ρ_Hom(g)Φ=Φ, g∈G ⇔Φは右辺の元.