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高校数学の問題です 解いてください。 「0≦x,y,z≦1の範囲で(x+y+z)/3+√{x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)}の最大値を求めよ。」

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2022/1/16 2:26

x+y+z=p, xy+yz+zx=q, xyz=r とおく。 x,y,zを3解とするtの3次方程式を次のようにおく。 f(t)=t^3-pt^2+qt-r=0 f'(t)=3t^2-2pt+q tの2次方程式 f'(t)=0を満たす解をα,β とおく。 0≦x,y,z≦1 だから、f(0)≦0 かつ f(1)≧0 かつ 0≦α,β≦1 が必要。 f(0)=-r≦0 ∴r≧0 ・・・① f(1)=1-p+q-r≧0 ∴1-p+q≧r ・・・② 0≦α,β≦1 から、f'(0)=q≧0 かつ f'(1)=3-2p+q≧0 かつ 軸:0≦p/3≦1 かつ D=p^2-3q≧0 ∴ 0≦p≦3 かつ 0≦q≦p^2/3 かつ q≧2p-3 ・・・③ ①②から、0≦r≦1-p+q ∴q≧p-1 よって、①②③から、 0≦p≦3 かつ 0≦q≦p^2/3 かつ q≧p-1 かつ q≧2p-3 ・・・④ (pq平面上で図示すると、添付図の青色網掛け部) 与式をNとおくと、N=p/3+√(p-q) これを変形して、 N-p/3=√(p-q) ⇔ (N-p/3)^2=p-q かつ N-p/3≧0 ∴q=p-(N-p/3)^2 =-1/9・p^2+(1+2N/3)p-N^2 =-1/9・{p-3(N+3/2)}^2+3(N+3/4) ・・・⑤ p=x+y+z≧0 だから、N≧p/3≧0 pq平面上で④かつ⑤を満たす領域が存在するときのNの最大値を求める。 ⑤はpq平面上で上に凸で、軸はp=3(N+3/2)≧9/2、頂点のq座標は 3(N+3/4)≧9/4 よって、Nが最大になりうるのは、 放物線⑤が次の条件を満たすとき。 i) 原点Oを通るとき、 ii) 点A(1,0)を通るとき、 iii) 点B(2,1)を通るとき、 iv) 点C(3,3)を通るとき。 v) 線分ABと接するとき、 vi) 線分BCと接するとき、 i) のとき、⑤は(p,q)=(0,0)を満たすから、N=0 ii) のとき、⑤は(p,q)=(1,0)を満たすから、N=4/3 iii) のとき、⑤は(p,q)=(2,1)を満たすから、N=5/3 iv) のとき、⑤は(p,q)=(3,3)を満たすから、N=1 v) のとき、q=p-(N-p/3)^2=p-1 から、(N-p/3)^2=1 ⇔ p^2-6Np+9(N^2-1)=0 これが重解を持つから、(判別式)=0でなければならない。 しかし、(判別式)=9N^2-9(N^2-1)=9>0 だから、放物線⑤が線分ABと接することはない。 vi) のとき、q=p-(N-p/3)^2=2p-3 から、p^2-3(2N-3)p+9(N^2-3)=0 これが重解を持つから、(判別式)=0 でなければならない。 (判別式)=9(2N-3)^2-36(N^2-3)=-27(4N-7)=0 ∴N=7/4 しかし、このときの重解は、p^2-3/2・p+9/16=(p-3/4)^2=0 でp=3/4<1 だから、接点は線分BC上にない。 よって、放物線⑤が線分BCと接することはない。 i)~vi)から、pq平面上で④かつ⑤を満たす領域が存在するときのNの最大値は、5/3((p,q)=(2,1)のとき) (p,q)=(2,1) のとき、f(t)=t^3-2t^2+t-r=0 これを変形すると、t(t-1)^2=r g(t)=t(t-1)^2 のグラフから、r=0 のとき、0≦t≦1を満たす3解が確かに存在し、十分。 (このときの3解は、f(t)=t^3-2t^2+t=t(t-1)^2=0 の解で、(x,y,z)=(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) ) 以上のことから、与式の最大値は、5/3

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