1本80円のシャーペンと1本50円のボールペンと1本20円の鉛筆をちょうど750円分買った。シャーペンとボールペンと鉛筆の合計本数をn本とするとき、次の問いに答えよ。

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お礼日時:1/22 1:14

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1本80円のシャーペンと1本50円のボールペンと1本20円の鉛筆をちょうど750円分買った。シャーペンとボールペンと鉛筆の合計本数をn本とするとき、次の問いに答えよ。 (1)nが3の倍数になることを証明しなさい。 1の位の数字はすべて0なので無視できるとして、10の位を見ると、合計額が5という奇数に対して、文房具は、奇数である者は50円のボールペンしかない。 なので、10の位を奇数にするためには、必ず、50円のボールペンを奇数本購入していなければならない ボールペンの購入本数は、1,3,5,7,9,11,13,15と分かる ボールペンが1本の時、残り700円をシャーペンと鉛筆で作る場合 すべて鉛筆なら35本で、鉛筆4本をシャーペンと変えることが可能なので、 シャーペン1本が鉛筆4本へと合計本数が3本増える変化をしていく つまり、1+35=36本から、3の倍数ずつずれた合計本数になる 36が3の倍数なので、そこから3の倍数ずつ本数が変化しても合計本数は常に3の倍数となる。 そして、次に50円のボールペンを1本からほかの奇数本へ増やしていくのは2本ずつ増やすということになる。 2本だから100円分で、その分 20円と80円で購入するものを100円分減らすことになる。 20円と80円で作れる100円の本数は、 20円5本の合計5本 20円1本80円1本の合計2本 のどちらかなので、 50円のボールペンを2本増やし、その他を5本減らしトータルで3本減らす 50円のボールペンを2本増やし、その他を2本減らしトータルで本数変化させない という変化しかしない。 なので、もともと3の倍数本数だった状態から、3本減らすというのを何回やっても3の倍数であることは変わらないし、本数変化させないでいても当然3の倍数のままである。 だから、常に合計本数nは3の倍数となる。 (2)n=12となるようなシャーペンとボールペンと鉛筆の本数の組を全て求めなさい。 50円1本の時、20円3本、80円8本 50円3本の時、20円2本、80円7本 50円5本の時、20円1本、80円6本 50円7本の時、20円0本、80円5本

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シャーペンとボールペンと鉛筆の本数をそれぞれx,y,z本とすると、 題意より x+y+z=n 80x+50y+20z=750 0≦x,y,z 80x+50y+20z=750 から 8x+5y+2z=75 2(4x+z)+5y=75 ここで5y,75はどちらも5の倍数だから 2(4x+z)も5の倍数、すなわち4x+zが5の倍数 4x+z=5kとおけば 2・5k+5y=75 2k+y=15 k=1のとき(すなわちx=z=1)、y=13なので、n=15 k=2のとき(すなわちx=2,z=2,またはx=1,z=6)、y=11なので、n=15,18 k=3のとき・・・(以下略) k=7のとき、((x,z)=(8,3),(7,8),(6,11),・・・)・・・ もっときれいな証明があるかも (2) (1)からn=12となるものを探す

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