ベクトル解析です。 (ア) Λは z=0なので、|x|+|y|≦1です。するとΛの縁は |x|+|y|=1 となる。 これは各象限で x,yの正負を考えれば、ひし形（正方形を傾けたもの） となることがわかる。 つぎに、ベクトル解析の面・線では方向がありますが、この問題では指 定されていない。そこで、Λは四角錐の底面なので、外向き、-z方向を面 の向きとすると、そのΛの周りの方向は右ねじの方向、時計回りになりま す。 A=<Ax,Ay,Az> として、Λの縁では z=0 なので dr=<dx,dy,0> となり A・dr=Axdx+Aydy=(x+y)dx+xydy となる。 ・第一象限のとき x,y≧0 なので、x+y=1、これを微分して dy=-dx 時計回りなので x=0 → 1 なので I₁=∫A・dr=∫[0→1] {1dx+x(1-x)(-dx)}=∫[0→1] (1-x+x²)dx ・第４象限のとき x≧0,y≦0 なので、x-y=1、これを微分して dy=dx 時計回りなので y=0 → -1 なので I₄=∫A・dr=∫[0→-1] {(2y+1)dy+(1+y)ydy}=∫[0→-1] (y²+3y+1)dy =∫[0→1] (-x²+3x-1)dx (y → -x と変換) ・第3象限のとき x,y≦0 なので、-x-y=1、これを微分して dy=-dx 時計回りなので x=0 → -1 なので I₃=∫A・dr=∫[0→ -1] {(-1)dx+x(-x-1)(-dx)} =∫[0→ -1] (-x²-x+1)(-dx)=∫[0→1] (-x²+x+1)dx (x → -x と変換) ・第２象限のとき x≦0,y≧0 なので、-x+y=1、これを微分して dy=dx 時計回りなので y=0 → 1 なので I₂=∫A・dr=∫[0→1] {(2y-1)dy+(y-1)ydy} =∫[0→1] (y²+y-1)dy=∫[0→1] (x²+x-1)dx (y → x と変換) したがって求める積分は C=I₁+I₂+I₃+I₄=∫[0→1] 4xdx=[2x²][1,0] =2・・・・① ここでは積分をまとめたほうが簡単なのでそうした。 (イ)も同様にして計算できます。