入試お疲れさまでした． さて，∠APB＝60°なのですから，Pは△APBの外接円上にあることがわかります． OPが一定なのですから外心からは常にOP=1です． よって原点が△APBの外心ですから ∠AOB=2∠APB =120°…エオカ OP=2…ウ Aのx座標は-√3であり．ABの中点をMとすると △AOMで考えてMO=1ですからy座標は-1 よって A(-√3,-1)…アイ 2点C,Dから等距離にあるのは線分CDの垂直二等分線であり，これは外心がOであることからy軸に他なりません． CDとy軸の交点をEとします． Pがy軸上に来る時は△APBが正三角形ですから PO=1 です． Eのy座標は-1+2√3ですから EP=2√3 -3 です． 三平方の定理より PC²=EP²+CE² =(2√3 -3)²+(√3)² =24-12√3 =24-2√108 =(√18 -√6)² ↑たして24，かけて108の組をさがす よって PC=PD=3√2 -√6…キクケ 最後は大変な計算になります． P(2cosθ,2sinθ) とおきPD²，PC²を計算すると PD²/PC² ={(20-4√3)-4(-1+2√3)sinθ+4√3cosθ}/{(20-4√3)-4(-1+2√3)sinθ-4√3cosθ} これをθで微分するとき導関数がゼロになるところが最小で 商の微分法で微分したときの分子について (PD²)'PC²=PD²(PC²)' が言えればよく，これを計算すると sinθ=(27-√3)/66 が得られます． よって P1P1'=2sinθ+1 =(-√3 +60)/33…コサシスセソ