公務員とは、国や地方公共団体で働く職員の事です。
公務員の中にも、正規雇用の職員もいれば、時給いくらのパートタイム契約や1ヶ月だけの短期雇用契約など非正規雇用の職員もいます。
>区役所とかの職場に受かればその時点で公務員なのでしょうか?
特別区の採用試験を受けて、受かって、採用まで辿り着けば、公務員です。
法律的には、採用試験に受かると採用候補者名簿に名前が載ります。その中から採用者が選ばれます。国など明確に切り離しているところもありますが、合格者は原則採用を謳うところもあります。内定は取り消しもあり得ます。
あくまでも、辞令を貰って正式に職員になって初めて公務員となります。
>そもそもどうやったら公務員になれるのでしょうか?
国又は自治体HPで採用試験の案内を確認し、応募し、採用試験を受け、合格、内定、採用まで辿り着けば公務員です。
自治体の場合は、募集先によって採用試験の日程・内容・募集職種・採用枠等が異なります。詳しくはHPで採用試験の案内等を御確認ください。
公務員になれない人(欠格条項該当者など)は、採用試験を受けることもできません。
>事務?とかの普通の公務員になるにはどうすればいいのでしょうか。
資格・免許が要らない職種はたくさんあります。
例えば、事務系の地方公務員の中でも、一般行政職で事務系の何でも屋さんをしている人もいれば、小中学校事務や警察事務など特定分野の事務だけを行う職種もあります。
まずは、質問者さんがお考えになる「普通の公務員」が具体的にどの職種なのかを決めてください。その上で、その職種の採用試験を受けて、採用されればOKです。