こんばんは。まず、全ての項目に個別に回答は難しいですので。
要はweb系の企業に就きたいと言う事ですね。
大手でもweb系開発オンリーとも限りません。
IT系企業としてweb系開発分野も行っていると言う位置付けです。
何も大学院まで進学する事も必要ないかとも思います。
理工系で院までお進みになられても、その延長線になってしまいますので。
質問者様は、理工学部との事ですが、情報工学系専攻とかならIT系関連の知識も身に着くとは思いますが。
以下、web系に関して簡単にご説明致します。
web開発でも、webデザインとwebシステムとに分類されます。
「webデザイナー」とは、その名の通りwebサイトのデザインを行う人の事です。
クライアントが求めるwebサイトを作る為、美しいデザインと機能的な構成を提案して、実際にコーディングを行う役割を担う事になります。 webデザイナーにとっては、デザイン作業は全体の中の一部に過ぎないです。デザインを行う前と後に、重要な行程が多くあります。
デザインを行う前には、クライアントとの「ヒアリング」、競合サイトの「調査・分析」、コンセプトや構成を決める「サイト設計」、そしてコンテンツを決める「画面情報設計」を行います。 クライアントの課題解決に繋がる企画と情報設計でなければ、いくら美しいデザインを施しても効果は全くなくて極めて重要な行程です。
そして「デザイン」ですが、ここまでに制作した戦略に基づいて魅力的なビジュアルを制作します。Illustrator、Photoshop等のグラフィックソフトを使ってカラーやレイアウトの調整や写真素材の加工等を行います。
デザインが終わると、HTMLなどの文字列で構成する「コーディング」、更新しやすいシステム等を構築する「プログラミング」を行います。この行程では1文字でも記述を誤ると正しく表示されない為、緻密な作業を行う事が必要です。そして最終確認を行いwebサイトが完成します。
「webシステム」とは、情報システムの実装形態の一つで、webサーバーやwebブラウザ、HTTP、HTMLなど、web技術を中心に構築されたものです。 クライアントサーバー方式の一種で、webサーバーがデータの保存や処理を行い、利用者がwebクライアント（＝webブラウザ）でサーバーにアクセスし、データの閲覧や操作を行います。 クライアント・サーバー間の通信方式（プロトコル）にはHTTP（必要に応じてSSL/TLS等）、操作画面の構成にはHTMLを用いるとか、インターネット上で標準的に用いられているweb関連技術や開発ツール等をそのまま流用する事が出来てゼロからこれらの技術仕様や実装を設計・開発しなくていいという利点があります。
また、webサーバーやwebブラウザをはじめ多くのオープンソースソフトウェアや無償配布のソフトウェアを活用する事が出来てコスト低減や開発期間の短縮が期待出来ます。
web開発の広範囲を担う職種は、FEエンジニア（フロントエンドエンジニア）と呼ばれる世界で、HTMLやCSSのコーディングのみでなくJavaScriptも対応範囲として、更には人によってはUI/UXデザイン、PHPやCMS構築なども担当します。
そもそもフロントエンドとは、webサイトやサービスのUI（ユーザインターフェース）です。
フロントエンドエンジニアは、JavaScriptの基本構文に加え、DOM、Ajax、API等の応用技術を利用するスキルを身に着ける必要があります。
web系のお仕事でもデザインレベルかシステム設計開発かで領域も異なって来ます。
今は学歴重視でもないです。IT系企業全体としては殆どキャリア採用になってしまいます。
未経験可とかでも、仮に採用されても即戦力にならないとなりません。
新卒でも未経験可とかにまずは応募して採用されたなら一カ所で数年はスキルを積む事です。スキル（経験値）があれば、更にスキルを元にキャリア転職も可能です。
簡単なアドバイスにもなりませんが、あくまでもご参考レベルでお願い致します。
当方、SEですがweb系開発専門ではありませんので。
