(1) f(x)=e^(x/2)sin((√(3)/2)x) f’(x) =(1/2)・e^(x/2)sin((√(3)/2)x)+e^(x/2)・(√(3)/2)cos((√(3)/2)x) =e^(x/2)sin((√(3)/2)x+π/3) =e^(x/2)sin((√(3)/2)x+(1/3)π)・・・① f[k]=e^(x/2)sin((√(3)/2)x+(k/3)π)とすると ①よりk=1のとき成り立つ・・・② f[k+1] =( f[k])’=(e^(x/2)sin((√(3)/2)x+(k/3)π))’ =(1/2)・e^(x/2)sin((√(3)/2)x+(k/3)π))+e^(x/2)・(√(3)/2)cos((√(3)/2)x+(k/3)π)) =e^(x/2)sin((√(3)/2)x+(k/3)π)+(1/3)π) =e^(x/2)sin(((√(3)/2)x+(k+1)/3)π)・・・③ ②、③より数学的帰納法により ∀n∈N,(f[n]= e^(x/2)sin((√(3)/2)x+(n/3)π))が成り立つ (2) ∫e^(x/2)sin((√(3)/2)x)dx =∫(-cos((√(3)/2)x))’・(2/√(3))・e^(x/2)dx =(-2/√(3))・e^(x/2)cos((√(3)/2)x))+(2/√(3))・∫(1/2)・e^(x/2)cos ((√(3)/2)x))dx =(-2/√(3))・e^(x/2)cos((√(3)/2)x))+(1/√(3))・∫e^(x/2) cos( (√(3)/2)x))dx =(-2/√(3))・e^(x/2)cos((√(3)/2)x))+ (1/√(3))・∫e^(x/2)・(2/√(3))(sin((√(3)/2)x)’dx =(-2/√(3))・e^(x/2)cos((√(3)/2)x))+(2/3)e^(x/2)sin((√(3)/2)x) -(2/3)∫sin((√(3)/2)x)(1/2)・e^(x/2)dx =(-2/√(3))・e^(x/2)cos((√(3)/2)x))+(2/3)e^(x/2)sin((√(3)/2)x) -(1/3)・∫e^(x/2)sin((√(3)/2)x)dx・・・① ①より (4/3) ・∫e^(x/2)sin((√(3)/2)x)dx =(-2/√(3))・e^(x/2)cos((√(3)/2)x))+ (2/3)e^(x/2)sin((√(3)/2)x)・・・② ②より ∫e^(x/2)sin((√(3)/2)x)dx ＝(1/2)・e^(x/2)( sin((√(3)/2)x)-√(3) cos((√(3)/2)x)))・・・答え (3) f(x)とx≦0におけるx軸の交点を求めると (√(3)/2)x=-kπ x=-(2/√(3))kπ よって 右から1番目の山→(-2/√(3))π～0 右から2番目の山→(-2/√(3))・2π～(-2/√(3))π ・ ・ ・ 右からｋ番目の山→(-2/√(3))・kπ～(-2/√(3))・(k-1)π 右からk番目の面積s[k]を求める ∫[(-2/√(3))・kπ→(-2/√(3))・(k-1)π]e^(x/2)sin((√(3)/2)x)dx =∫[-2kπ/√(3)→-2(k-1)π/√(3)] e^(x/2)sin((√(3)/2)x)dx =[(1/2)・e^(x/2)(sin((√(3)/2)x)-√(3)cos((√(3)/2)x))] [-2kπ/√(3)→-2(k-1)π/√(3)] =-(√(3)/2)・e^(-(k-1)π)/√(3))cos(-(k-1)π)+(√(3)/2)・e^(-kπ/√(3))cos(-kπ) =-(√(3)/2)・e^(-(k-1)π)/√(3))・(-1)^(k-1)+ (√(3)/2)・e^(-kπ/√(3))・(-1)^k =(-1)^(k)・√(3)/2)・(e^(-(k-1)π)/√(3))+ e^(-kπ/√(3)))・・・① ①より s[k]= √(3)/2)・(e^(-(k-1)π)/√(3))(1+e^(-1/√(3))π)・・・② ②より s[1]= √(3)/2)・(1+e^(-1/√(3))π)・・・③ ②、③より x≦0においてf(x)とｘ軸との面積の総和sは 初項√(3)/2)・(1+e^(-1/√(3))π)、公比e^((-1/√(3))π) s=√(3)/2)・(1+e^(-1/√(3))π)/(1- e^((-1/√(3))π))・・・答え となりますが、間違えていたらすみません。