夏休みなどのよほどの繁忙期以外、以下の移動ならば、可能かもしれません。
1番安く移動するのは、都内ー福岡市の間に、名古屋か大阪かのいずれかをはさむバスの乗り継ぎで、
1日目ー都内から昼行バス乗車
ー名古屋駅か大阪駅で下車
1日目夜ー名古屋駅か大阪駅から夜行バス乗車
2日目朝ー博多駅か天神バスセンターで下車
しかし、これに食事代を加えなければなりません。
また夜行バスは、JRや西鉄など鉄道系バス会社は高いので、ツアーバス会社など、安いバス会社をチョイスする必要があります。
何にしても自分で調べて下さい。
どのバス会社が1番安いかは、変動制なので誰にもわかりません。
名古屋駅、大阪駅いずれも駅近くにネットカフェがありますので、安価で時間潰しが出来ます。
まずは高速バスをまずは検索して下さい。