円周率の無理性を証明したいと思っています。 間違えの部分を教えて下さい。 よろしくお願いします。 [自明の関係] x=0ならば、x=sin(x)である。 [補題]
円周率の無理性を証明したいと思っています。 間違えの部分を教えて下さい。 よろしくお願いします。 [自明の関係] x=0ならば、x=sin(x)である。 [補題] x=sin(x)ならば、x=0である。 [補題証明] x-sin(x)=f(x)とおき 微分すると f'(x)=1-cos(x)≧0 よってf(x)は単調増加だから x=0以外でf(x)=0となることはない。 したがって、解は x=0 の1つのみである。 [同値関係] よって x=0⇔x=sin(x). 対偶をとると x≠0⇔x≠sin(x). [証明] a,bは、ある正の整数である。 π=b/a（既約分数）の有理数であると仮定する。 sin(aπ) =0 =sin(b). x=b(x≠0)ならば 0=sin(x)である。 これは不合理である。
ベストアンサー
結論から言うと証明にはなっていないと思います。 補題のy=xとy=sinxの共有点が x=0のみというのは問題ないのですが、 本証明においてπ=b/a ⇒ sin(aπ)=sin(b)=0 ここでx=b(x≠0)と置いたところで x=sin(x)が導けてしまうなら矛盾でしょうが、 sin(x)=sin(b)=sin(aπ)=0 なのですから、 特に矛盾は生じません。 現在知られている円周率が無理数であること証明は 初等的なものでもなかなかステップが多く大変です。 超越性の証明となると 19世紀終わりのリンデマンの定理でやっとですから πにまつわる証明は意外と困難を伴うようです。
質問者からのお礼コメント
やはり、無理数ならニーベンの証明、超越数ならリンデマンの証明になりますよね。 ありがとうございました。
お礼日時：5/24 23:55
