(1) 任意のεに対してあるδが存在する (点xと点aのと距離がδ未満ならば、f(x)とf(a)との距離はε未満である) (2) ∃ε > 0, ∀δ > 0 (∃x, s.t. |x - a| < δ ∧ |f(x) - f(a)| ≧ε) (3) ε = 1ととる。任意のδに対して、 x < 3 を |x - 3| < δ ととると |f(x) - f(3)| = |f(3 - δ) - f(5)| = |5 - (3 - δ)| = 2 + δ > 1. (4) f,g が連続なので、 ∀a ∈ X, ∀ε_1 > 0, ∃δ_1 > 0 (|x - a| < δ_1 ⇒ |f(x) - f(a)| <ε_1), ∀a ∈ X, ∀ε_2 > 0, ∃δ_2 > 0 (|x - a| < δ_2 ⇒ |g(x) - g(a)| <ε_2). |f(x)g(x) - f(a)g(a)| = |f(x)(g(x) - g(a)) + (f(x) - f(a))g(a)| ≦ |f(x)||g(x) - g(a)| + |f(x) - f(a)| |g(a)| ≦ |f(x)||g(x) - g(a)| + |f(x) - f(a)| |g(a)| (i) g(a) ≠ 0 のとき、fの連続性から ∀ε > 0, ∃δ_1 s.t. |x-a| < δ_1 ⇒ |f(x)-f(a)| < ε/2|g(a)|. (ii) g(a) = 0 のとき |f(x)-f(a)||g(a)| = 0 < ε/2 (∀ε > 0) よっていずれにしても、∀a ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ_1, |f(x)-f(a)| |g(a)| < ε/2. (iii) fの連続性から、 ∃δ_2 s.t. |x-a| < δ_2 ⇒ |f(x) - f(a)| ≦ 1. |f(x)| ≦ |f(x) - f(a)| + |f(a)| ≦ 1 + |f(a)|. ここで M = 1 + |f(a)| とおく。 |f(x)| ≦ M. gの連続性から、 ∀ε > 0, ∃δ_3 s.t. |x-a| < δ_3 ⇒ |g(x) - g(a)| ≦ ε/(2M) 以上から任意のε > 0 に対して δ = min{δ_1, δ_2, δ_3} と取ると, |x-a| < δ ⇒ |f(x)g(x) - f(a)g(a)| ≦ |f(x)||g(x)-g(a)| + |f(x) - f(a)||g(a)| ≦ M|g(x) - g(a)| + |f(x) - f(a)||g(a)| < ε/2＋ε/2 =ε.