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V：(x-1)²+y²+z²≦1 ⇔ -√{1-(x-1)²-y²}≦z≦√{1-(x-1)²-y²} zから積分 ∫[V]x²dv =∬[D]x²dxdy∫[-√{1-(x-1)²−y²},√{1-(x-1)²−y²}]dz =2∬[D]x²√{1-(x-1)²-y²}dxdy x-1=rcosθ y=rsinθ ヤコビアン J=r D：(x-1)²+y²≦1 =2∬[D](1+rcosθ)²√(1-r²)*rdrdθ =8π/5 【別解】V：(x-1)²+y²+z²≦1 ∫[V]x²dv=∭[V]x²dxdydz =∫[0,2]x²dx∬[y²+z²≦2x-x²]dydz ここで ∬[y²+z²≦2x-x²]dydz =半径√(2x-x²)の円の面積 =π(2x-x²) だから =π∫[0,2]x²(2x-x²)dx =8π/5 この別解が最速最簡？
【別解2】V：(x-1)²+y²+z²≦1 ⇔ 1-√(1-y²-z²)≦x≦1+√(1-y²-z²) ⇔ 1-α≦x≦1+α ｘから積分 ∭[V]x²dxdydz =∬[D]dydz∫[1-α,1+α]x²dx =(2/3)∬[D](α²＋3)αdydz =(2/3)∬[D](4-y²-z²)√(1-y²-z²)dydz D：y²+z²≦1 極座標変換 =(2/3)∬[D*]r(4-r²)√(1-r²)drdθ =(2/3)2π∫[0,1]r(4-r²)√(1-r²)dr =(2/3)2π*6/5 =8π/5
質問者からのお礼コメント
ありがとうございます
お礼日時：7/2 20:28
