因数分解の方法について質問です。 X^2+5X+6のように、積が6、和が5になる数の組み合わせを見つける方法が使えるケースと、この方法が使えないケースとの違いは何でしょうか?

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お礼日時:7/6 20:23

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整数係数2次方程式 ax^2+bx+c=0の解は解の公式により x=(−b±√(b^2−4ac))/(2a)となる。 (整数係数範囲で)因数分解できるならば解は有理数のはずなので、無理数(√のこと)がないことが条件となる。 したがってb^2−4ac=k^2(k整数)となればよい。このときこれを判別式Dと定義すると、D=b^2−4ac=k^2(k整数)となることが因数分解できる条件となる。 例えば x^2−6x+5=0ならば D=36−4×1×5=16=4^2だから因数分解可能。 x^2−6x+6=0ならば D=36−4×1×6=12だから因数分解不可能。 2x^2−7x+3=0ならば D=49−4×2×3=5^2だから因数分解可能。 2x^2−7x+2=0ならば D=49−4×2×2=33だから因数分解不可能。 中学では習わない。高校でも普通は習わないが、勝手に見つける人もいる。

以下、普通はやらない完全マニア向け。 例えば (8x−5)(6x−5)=48x^2−70x+25などの問題は時間がかかる。 48x^2−70x+25 =1/48(48^2x^2−70×48x+25×48) =1/48(t^2−70t+25×48) =1/48(t−30)(t−40) =1/48(48x−30)(48x−40) =1/6(48x−30)(6x−5) =(8x−5)(6x−5) とすればたすき掛けしなくて済む。 マニア向け過ぎてまず使う機会はない。

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kir・・・さんのお話のようにx²の係数が1のときに因数分解できるものが多いのですが、2乗の係数が1でなくても 4x²-12x+9のように( )²になるものは因数分解できることがあるので要注意です。

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積の組合せが、4通り以下ぐらい(個人差はあるでしょう)なら実際にためすことは比較的簡単だと思います。 組合せが多いときは、判別式(解の公式のルートの中)をだして、これが平方数なら因数分解ができる、平方数でなければ(有理数の範囲で)因数分解はできないですね。