アンケート一覧ページでアンケートを探す

回答受付が終了しました

mat********

2023/6/17 19:09

11回答

Rを単純環で1を持つとします。Rの中心をＣとします。ＩをＣの左イデアルで0ではないとします。Ｉ＝Ｃを示して下さい。

Rを単純環で1を持つとします。Rの中心をＣとします。ＩをＣの左イデアルで0ではないとします。Ｉ＝Ｃを示して下さい。

大学数学・29閲覧

新機能 AI回答テストを実施中！ テスト対象カテゴリ：歴史・悩み相談 ※回答がつかない場合は、画面のリロードをお試しください

回答（1件）

*********

2023/6/17 19:53

だらっと、推論進めれば証明できるでは。 非可換環論は少し苦手ですが。 CをIの左イデアルで0で無いとする。 I＝Cを示すには、1∈Cを示せば十分。 ＜〜まあ、ここに帰着が基本ですよね。 0≠a∈I とする。 aが中心に属するため ra = ar （∀r∈R) であり、Ra=aR J=Ra は、Rの両側イデアルになる。また、J≠０。 Rが単純であることから、J=R。すなわち Ra = R つまり、1=ra となるr∈Rが存在。同様にar'=1となるr'も存在するが、 r=r(ar')=(ra)r'=r' また、任意のｘ∈Rに対し xa=ax であるが、右からｒ，左からｒを掛けると rxar = raxr rx=xr となり、r∈C。 1=ar∈C。

NEW! この回答はいかがでしたか？ リアクションしてみよう

*********

2023/6/18 0:43

補足です。 １を持つ非可換環Rの中心C関数は、（可換）環になります。 a,b∈Cなら、任意のｘ∈Rに対し x(ab)=(xa)b=a(xb)=a(bx)=(ab)x x(a+b)=xa+xb=ax+bx=(a+b)x ゆえ、Cは積、和について閉じている。 １∈Cは明らか。