この問題を解くためには、行列の対角化と固有値に関する理論を用いることが必要です。 1. P^-1BPが対角行列となることを示す： 行列Aが対角化可能であるためには、Aがn次元で、その固有値に対応するn個の線形独立な固有ベクトルを持つことが必要です。行列Aが2次の正方行列で、固有値が2つ（2と-1）あるという事実から、行列Aは対角化可能です。 対角化すると、A = PDP^-1と表現できます。ここでDは対角行列で、その対角成分はAの固有値です。 行列BはAとE（単位行列）の多項式であり、行列の多項式には次のような性質があります：ある行列MがPMP^-1に相似であるとき、f(M)もPf(M)P^-1に相似です。ここでf(x)は多項式で、f(M)はその行列の多項式です。 この性質により、P^-1BPも対角行列となります。なぜなら、P^-1BPはP^-1(A^3 - 5A + 4E)Pの形であり、これは対角行列Dの多項式（すなわち対角行列）となるからです。 2. |B|の値を求める： 行列B = A^3 - 5A + 4Eと表現できます。行列の固有値の性質から、行列の多項式の固有値は、元の行列の固有値にその多項式を適用したものとなります。したがって、Bの固有値はAの固有値2と-1にそれぞれx^3 - 5x + 4を適用したものとなります。すなわち、固有値は2^3 - 5*2 + 4 = 2と、-1^3 + 5*1 + 4 = 8となります。 行列の行列式（すなわち|B|）はその固有値の積であるため、|B| = 2 * 8 = 16となります。