後置修飾でなく 結果を表す分詞構文で（そして～した） という意味です。 He became skilled at rhythm games, 「リズムゲームが得意になり、」 (becoming) prominent in arcades. 「ゲームセンターで頭角を現した」 結果（そして～した）を表す分詞構文は 動詞にはかからない。 「そして～した」というように、 前から後ろに訳す。 (becoming) prominent の現在分詞 becoming は主語が同じなので 主語 he も動詞 become の現在分詞 becoming も省略されている。