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mac********

2023/10/2 17:52

11回答

確率測度について質問です。 (Ω,Ｆ,P)におけるPの正体がいまいちピンときません。具体的な疑問は例えば確率変数Xを標準正規分布に従うものとすると

確率測度について質問です。 (Ω,Ｆ,P)におけるPの正体がいまいちピンときません。具体的な疑問は例えば確率変数Xを標準正規分布に従うものとすると P({ω; -1.96 <= X(ω) <= 1.96})がなぜ0.90になるのかという話です。 Pの主な定義は全体集合を1に写像する測度だと思うのですが、あまりにもガバガバな定義だと感じてしまいます。上の例ですとなぜPは標準正規分布における面積の大きさを測っているんですか？0.8じゃだめなんですか？Pはこの面積を測るものといつ定義されたんですか？質問がわかりにくくすみません。意図が理解できた範囲で大丈夫ですので教えていただけるとうれしいです。

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回答（1件）

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2023/10/2 23:01

(Ω,Ｆ,P) を、正規分布で考えると Ω=ℝ F=ルベーグ可測集合 Pは、ルベーグ可測集合Aに対し P(A)=∫_A N(x) dx （ただし、N(x)は正規分布の例の密度関数とします） P({ω; -1.96 <= X(ω) <= 1.96}) = ∫_{-1.96}^{1.96} N(x)dx です。 P({ω; a <= X(ω) <= b}) = ∫_{a}^{b} N(x)dx です。この場合は、右辺はルベーグ積分じゃなくてリーマン積分でもＯＫ です。これは、初等的な確率統計で出てくる密度関数から確率もとめる話そのもの。 Pを何らか決めないと、確率は絶対にわかりません。「Pの主な定義は全体集合を1に写像する測度」は、”P"が満たすべき最低限の条件というだけです（すべての事象の確率は１、という確率が持つべき最低限の条件の制約を与えているだけですね。）

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