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数学B ベクトル 平面上の3点O,A,Bは|OAベクトル+OBベクトル|=|2OAベクトル+OB...

ops********さん

2009/11/319:53:34

数学B ベクトル

平面上の3点O,A,Bは|OAベクトル+OBベクトル|=|2OAベクトル+OBベクトル|=|OAベクトル|=1を満たす。

OAベクトル×OBベクトル=-3/2
|OBベクトル|=√3、|ABベクトル|=√7、三角形OABの面積√3/4

Oから辺ABに下ろした垂線の長さは√21/14
まではわかったんですが、次の問題が解けません。

点Pが平面上を|OPベクトル|=|OBベクトル|を満たしながら動くとき、三角形PABの面積Sの最大値とPABに下ろした垂線の長さを求めよ。


教えてください。お願いします。

補足訂正
× PABに下ろした垂線の長さを求めよ。
○ ABに下ろした垂線の長さの最大値を求めよ。

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ベストアンサーに選ばれた回答

bur********さん

2009/11/409:09:38

ops05to26kiさん
図を描きましたか?
Oから辺ABに下ろした垂線の足をCとすると、
OC↑と反対向きで大きさが√3のベクトルがOP↑です。
三角形PABの底辺をAB,高さをPCと考えれば、面積Sの最大値Smaxは
Smax=(1/2)(√7){√3+(√21/14)}=√21/2+√3/4
垂線の長さは√3+(√21/14)

質問した人からのコメント

2009/11/4 23:03:45

成功 ありがとうございました。
少し勘違いをしていた点もあったようです。図を描くとすっきりしてよく分かりました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

k03********さん

2009/11/321:34:07

ops05to26kiさん

OAベクトル×OBベクトル=-3/2
|OBベクトル|=√3、|ABベクトル|=√7、三角形OABの面積√3/4
Oから辺ABに下ろした垂線の長さは√21/14
まではわかったんですが、次の問題が解けません。

点Pが平面上を|OPベクトル|=|OBベクトル|を満たしながら動くとき、三角形PABの面積Sの最大値とPABに下ろした垂線の長さを求めよ。

|a+b|=|2a+b|=|a|=1
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1
2ab + b^2 = 0
(2a+b)^2 = 4a^2+4ab+b^2 = 1
4ab+b^2 = -3
ab = -3/2
b^2= 3
|p|=|b| = √3

p = sa + tb
(sa+tb)^2 = s^2a^2 + 2stab+t^2b^2 = s^2 -3st + 3t^2=3
p.(b-a) = (sa + tb)(b-a) = sab-sa^2 + tb^2-tab = (-3/2)s - s + 3t + (3/2)t = (-5/2)s + (9/2)t=0
-5s+9t=0
s^2 -3st + 3t^2=3
t^2=25/7
s^2=81/7
t=5√7/7
s=9√7/7
p = (9a + 5b)(√7/7)

up = a + w(b-a) = (1-w)a+wb = u(9a + 5b)(√7/7)
1-w = 9u(√7/7)
w = 5u(√7/7) = 1 - 9u(√7/7)
14u(√7/7) = 1
u = √7/14

三角形PABの面積S = (1/2)*√7*(√7/14+1)*3 = (3+6√(7))/4
??

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