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正の奇数を小さい方から並べた数列を{a_n}とする。これらの奇数を下のようにk群に...

pek********さん

2009/12/2717:49:10

正の奇数を小さい方から並べた数列を{a_n}とする。これらの奇数を下のようにk群に2^(k-1)の項が含まれるように分ける。

1|3,5|7,9,11 ,13|15,17,19,21,23,…

(1)数列{a_n}の一般項を求めよ。

(1)第1群から第7群までの項数の和を求めよ。

(3)第1群から第k群までの項数の和を求めよ。また、第9群の初項を求めよ。

(4)2009は第何群の第何番目の項か。

この問題が分からないのでどなたか教えて下さい。宜しくお願い致します

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sig********さん

2009/12/2722:56:57

(1)
ただのa_nはk群などは関係なく
単なる奇数の列なので
a_n = 2n-1 です。


(2)
Σ_{m=1 to 7} 2^(m-1)
= 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6
= ((2^7)-1)/(2-1) = 127(項)

(3)
Σ_{n=1 to k} 2^(n-1)
= ((2^k)-1)/(2-1) = (2^k) -1 (項)

第8群までに 2^8 -1 = 255 項あるので
第9群の最初は第256項で
a_256 = 511

(4)
a_n = 2n-1 = 2009
2n = 2010
n = 1005
したがって2009は a_1005と分かります。

(2^k) - 1 ≦ 1005 を満たす最大のkを探します。
2^k ≦ 1006

2^9 = 512
2^10 = 1024
なので、k = 9が見つかり、
第9群までに2^9 - 1 = 511項あると分かります。
第10群までに2^10 - 1 = 1023項あると分かります。
a_1005は第10群ですね。
第10群の最初は a_512です。
a_1005は 1005 - 511 = 494 より
第10群の494番目の項となります。

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