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高校数学の範囲内(マクローリン展開含む)で自然対数の底eがある値に収束すること...

mat********さん

2010/1/112:09:11

高校数学の範囲内(マクローリン展開含む)で自然対数の底eがある値に収束することは今まで証明されたことはあるのでしょうか? インターネットで調べる限りは証明できないとされているのですが、実はこの前自分で高校範囲内の数学だけで証明できてしまったので質問しました。

補足僕の証明方法は「『f(1)>f(2)>…>f(N)>…>0、lim(N→∞)f(N)=0』となる数列は『f(1)-f(2)+…+f(2N-1)-f(2N)+… =α>0』に収束することを証明」→「マクローリン展開を使って『(1/e)=(1/2!)-(1/3!)+…+(1/2N!)-…』であることを示す」→「(1/e)が0より大きい値に収束するのでeも収束」という流れなのですが、もしやまずいですかね?
ちなみに(1/e^x)'=(-1/e^x)を使って(1/e)はマクローリン展開しました。

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ベストアンサーに選ばれた回答

mmr********さん

編集あり2010/1/323:18:59

(追記) 補足確認いたしました.
アイディアは大変素晴らしいと思います.
「『f(1)>f(2)>…>f(N)>…>0、lim(N→∞)f(N)=0』となる数列は
『f(1)-f(2)+…+f(2N-1)-f(2N)+… =α>0』(ライプニッツの定理)
の証明で,通常は例の「有界単調な数列は収束する」
という定理を用いるので,そこは気になります.

あと,マクローリン展開は x=0 における収束を保証しますが,
x=1での収束は守備範囲外です(ただ,ここの修正は容易かと).

一番問題なのは,マクローリン展開,すなわち
e^x=Σ(x^n)/(n!) (n=0~∞)
をどこから導いたのかです.
「そもそも a^x をΣ(x^n)/(n!) で定義する」というのならO.K.で,
収束することの証明も特に問題ありません.
ただし,ここでのa がネイピア数と一致するかは,話が別です.
また,(1/e^x)’=-1/(e^x) を導くには,
(上記のようにe^xを定義していないのであれば)
(e^x)’=e^x ,あるいは lim[x→0] (e^x-1)/x =1
という事実が必要です.
この条件を満たすeという数がそもそも存在するか?
存在するとすれば,それは1つに定まるのか?
それが「eが収束するか」(というより,(1+1/n)^n が収束するか)
と(ほぼ)同じことであるため,証明になっていない気がします.

以上が気になるところですが,これらの問題をクリアしていれば,
大丈夫です(身近な数学の先生に見てもらったほうがよいでしょうね).

蛇足ですが,a[n]=(1+1/n)^n が収束することの一般的な証明は,
① まず,二項定理などを用いて a[n]<3 を証明.
② {a[n]} が単調増加であることを証明.相加≧相乗 を使うことが多い.
③ 「上に有界かつ単調増加」(ε-N 論法で容易に導ける)から,収束すると結論.
という流れになります.(高校生でも十分に理解可能と思われます)

質問した人からのコメント

2010/1/7 21:24:27

コメントありがとうございます。

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