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(ナブラxyz)の2乗を(ナブラrθγ)の2乗に直すにはどうしたらいいか教えて下さい

pec********さん

2010/1/1915:24:23

(ナブラxyz)の2乗を(ナブラrθγ)の2乗に直すにはどうしたらいいか教えて下さい

補足γではなくφでした

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ベストアンサーに選ばれた回答

c18********さん

2010/1/2003:42:57

∇^2 の使い方は 二通りあるようです。

∇^2 = ラプラシアン = Δ = ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2

∇^2 f = ヘッセ行列 = H(f)
があります。

ヘッセ行列 H(f) は、
(両端に括弧を補ってみてください)
∂^2f/∂x^2 ∂^2f/∂x∂y ∂^2f/∂x∂z
∂^2f/∂y∂x ∂^2f/∂y^2 ∂^2f/∂y∂z
∂^2f/∂z∂x ∂^2f/∂z∂y ∂^2f/∂z^2
です。

ラプラシアンの方は、下のサイトが参考になると思います。
「極座標のラプラシアンの出し方いろいろ 」
http://homepage3.nifty.com/iromono/PhysTips/Lap.html

ちなみにこのサイトの出だしは、
"「3次元の極座標のラプラシアンを計算せよ」
と言われると、経験のある人の多くが
「二度とヤダ」
と反応するようだ。私も何度かやったことあるが、まじめに計算しようとすると確かにめんどくさい。"

ヘッセ行列の方は、変数変換のルールを示すので自分で計算してください。
(ゴメン、すごくめどくさいので ・・・あっ、そうじゃなくて、自分の勉強のため・・・・)

∂/∂r = (∂x/∂r)(∂/∂x)+(∂y/∂r)(∂/∂y)+(∂z/∂r)(∂/∂z)
∂/∂θ = (∂x/∂θ)(∂/∂x)+(∂y/∂θ)(∂/∂y)+(∂z/∂θ)(∂/∂z)
∂/∂φ = (∂x/∂φ)(∂/∂x)+(∂y/∂φ)(∂/∂y)+(∂z/∂φ)(∂/∂z)

∇ を縦ベクトル(3行1列の行列)と考えて
∇_xyz = t[ ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z ]
∇_rθφ = t[ ∂/∂r ∂/∂θ ∂/∂φ ]
ここで t xxxx は、xxxx の転置を表します。

(下は行列を表す括弧は、補ってみてください)
J =
∂x/∂r ∂y/∂r ∂z/∂r
∂x/∂θ ∂y/∂θ ∂z/∂θ
∂x/∂φ ∂y/∂φ ∂z/∂φ
とすると

H(f)
= (∇_xyz t∇_xyz) f
= (J^-1∇_rθφ)t(J^-1∇_rθφ) f
= J^-1∇_rθφ t(∇_rθφ)t( J^-1 ) f
(∇_xyz t∇_xyz などが 3x1行列 × 1x3 行列 = 3x3行列 になっていることに注意))

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = r cosφ として
Jの要素まで書いておきます。それ以上の計算は、自分で行ってください。

∂x/∂r = sinθcosφ,
∂y/∂r = sinθsinφ,
∂z/∂r = cosθ,
∂x/∂θ = rcosθcosφ,
∂y/∂θ = rcosθsinφ,
∂z/∂θ = -rsinθ,
∂x/∂φ = -rsinθsinφ,
∂y/∂φ = rsinθcosφ,
∂z/∂φ = 0

(う~ん、めんどうそうだ。)

なにかあれば、コメントしてください。

質問した人からのコメント

2010/1/21 16:08:22

成功 回答ありがとうございます

手を付けられない状態だったので回答を見て整理してみます

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