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中点連結定理の証明の仕方を教えて下さい!! 合同の証明なら知ってるんですが……

oddknさん

2010/1/2719:46:52

中点連結定理の証明の仕方を教えて下さい!!
合同の証明なら知ってるんですが……

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ID非公開さん

2010/1/2720:40:11

「相似」とか「平行線と比」みたいなものを知ってると簡単に証明できるのですが
「合同」しか使えないとなると、なかなか難しいですね…

平行四辺形の性質は大丈夫でしょうか。
平行四辺形の性質を使って、
中点連結定理
「⊿ABCについてAB,ACの中点をP,QとするとBC=2PQ,BC//PQ」
これを証明します。
図を描きながら読んでみてください。

(証明)
直線PQ上に PQ=QR となるような点Rをとる

四角形APCRについて
AQ=CQ,PQ=RQ(対角線がそれぞれの中点で交わる)より
これは平行四辺形である

よって AP=CR,また AP=PB より PB//CR …①
AP//CR であるから PB//CR …②

四角形PBCRについて ①,②より
向かい合う一組の辺の長さが等しく平行であるから
これは平行四辺形である

ゆえに、PR//BC すなわち PQ//BC (並行の証明おわり)
PR=PQ+QR PQ=QR より PR=2PQ
また PR=BC であるから BC=2PQ (比の証明おわり)


こんな感じでしょうか。

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