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数列の問題です!! 奇数の数列1、3、5、…を {1}、{3、5、7}、{9、11、13、15、17}、…… のよ...

gj_********さん

2010/2/2015:44:27

数列の問題です!!

奇数の数列1、3、5、…を
{1}、{3、5、7}、{9、11、13、15、17}、……
のように、1個、3個、5個…の群にわける

【1】第n番目の群の最初の奇数をnの式で表せ


【2】第n番目の群に入る全ての奇数の和を求めよ


この問題の解き方を教えてください!!


答は【1】2n^2-4n+3
【2】(2n-1)(2n^2-2n+1)です。よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

nor********さん

2010/2/2016:08:29

群数列を解く方法は、ポイントになる項の表し方です。


【1】第n番目の群の最初の奇数をnの式で表せ

第n群の最後の項までに項がいくつあるかを考えます。
第1群の中には1個
第2群の中には3個
・・・
第k群の中には(2k-1)個
項があることがわかるので、その総和は
Σ[k=1~n](2k-1) = n(n+1)-n = n^2個
となります。
第n群の最初の項は
第(n-1)群の最後の項の次の項なので
(n-1)^2 + 1 = (n^2-2n+2)番目の項となり、
この数列の一般項は奇数なので2k-1と表されるので、
kにn^2-2n+2を代入すれば
2(n^2-2n+2)+1 = 2n^2-4n+3
となります。


【2】第n番目の群に入る全ての奇数の和を求めよ

第n群の項の総和は第n群までの総和から第(n-1)群までの総和を引けばよい。
第n群の最後の項がn^2番目、
第(n-1)群の最後の項が(n-1)^2番目であることから

Σ[k=1~n^2](2k-1) - Σ[k=1~(n-1)^2](2k-1)
=n^2(n^2+1)-n^2 - [(n-1)^2{(n-1)^2+1}-(n-1)^2]
=n^4 - (n-1)^4
={n^2 - (n-1)^2}{n^2 + (n-1)^2}
=(2n-1)(2n^2-2n+1)

となります。

質問した人からのコメント

2010/2/26 22:49:55

降参 ありがとうございます。

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