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数学を教えてくださいm(__)m 関数f(x)=x^2-2ax-|x-a|-2a^2+2aを考える。aは...

crm********さん

2010/3/1100:13:31

数学を教えてくださいm(__)m
関数f(x)=x^2-2ax-|x-a|-2a^2+2aを考える。aは定数。
(1)0≦f(0)≦f(1/2)となる定数aの値の範囲を求めよ。
(2)全ての実数xに対してf(x)≧0となる定数aの値の範囲を求めよ。
どちらか一方の回答だけでも構いません。回答お願いしますm(__)m

補足すみませんが絶対値の場合分けを自分なりにしてみてもやり方分かりません(泣)やり方教えていただけたら嬉しいですm(__)m

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ベストアンサーに選ばれた回答

icc********さん

編集あり2010/3/1120:43:43

行きます。
(1)
0≦f(0)≦f(1/2)が成り立つことは、0≦f(0)かつf(0)≦f(1/2)と同義です。
まず、0≦f(0)が成り立つaの範囲を調べます。
f(0)=-|-a|-2a^2+2a
(ⅰ)a<0のとき
f(0)=-(-a)-2a^2+2a
=a-2a^2+2a
=-2a^2+3a
f(0)≧0とすると
a(a-3/2)≦0
よって、0≦a≦3/2
a<0を考慮すると、該当範囲なし。
(ⅱ)a≧0のとき
f(0)=-a-2a^2+2a
=-2a^2+a
f(0)≧0とすると
a(a-1/2)≦0
よって、0≦a≦1/2
a≧0を考慮すると、0≦a≦1/2

この時点で0≦a≦1/2の範囲しか考える必要はなくなります。←重要

次に、f(0)≦f(1/2)が成り立つ範囲を調べます。
f(1/2)=1/4-a-(1/2-a)-2a^2+2a (0≦a≦1/2より、1/2-a≧0が確定)
=-2a^2+2a+1/4
f(0)≦f(1/2)とすると
a≧-1/4
0≦a≦1/2を考慮すると
0≦a≦1/2

これらより、0≦f(0)≦f(1/2)となる定数aの値の範囲は
0≦a≦1/2

(2)
(ⅰ)x<aのとき
f(x)=x^2-2ax+x-a-2a^2+2a
=x^2+(1-2a)x+a(1-2a)
f(x)の軸は
x=-(1-2a)/2
=a-1/2
<a
となるので、x<aの範囲でf(x)≧0が成立することは
まさにf(x)=0が重解を持つかまたは実数解を持たないことである。
よって、判別式をDとして
D≦0となるaの範囲を調べる。
D=(1-2a)^2-4a(1-2a)
=(1-2a)(1-4a)
=(2a-1)(4a-1)
=8(a-1/4)(a-1/2)
D≦0とすると
1/4≦a≦1/2

(ⅱ)x≧aのとき
f(x)=x^2-(2a+1)x+3a-2a^2
f(x)の軸は
x=--(2a+1)/2
=a+1/2
>a
となるので、x≧aの範囲でf(x)≧0が成立することは
まさにf(x)=0が重解を持つかまたは実数解を持たないことである。
(ⅰ)と同様の計算で
1/6≦a≦1/2

(ⅰ),(ⅱ)を考慮すると
1/4≦a≦1/2

間違ってたらゴメス。
少なくとも方針はこんな感じだと思う。

>monelmetalさん
ありがとうございます。完全に間違えていました。
修正しましたが、また間違えているようでしたらご指摘ください。

絶対値の場合分けについて
たとえば、|x|(xは実数)とします。
もし、x=5(x≧0)とわかっているならば、すんなり|x|=5とできるはずです。
x=-5(x<0)とわかっているならば、これもすんなり|x|=5とできると思います。

何をしているかといいますと、
絶対値の中が正であれば、そのまま絶対値をはずして絶対値の中をとりだし
絶対値の中が負であれば、絶対値の中にマイナスを掛けて絶対値をはずしているのです。

上の例で行きますと、
x=5のときは、|x|=|5|=5 (そのまま絶対値をはずす)
x=-5のときは、|x|=|-5|=-(-5)=5 (絶対値の中にマイナスを掛けて絶対値をはずす)
という作業をしているのです。

問題のほうでも同様に
x-a≧0(x≧a)とx-a<0(x<a)
に場合分けしているのです。
x-a≧0のとき|x-a|=x-a
x-a<0のとき|x-a|=-(x-a)

わからなかったらまた補足してくださいd(ゝ∀・*)

質問した人からのコメント

2010/3/11 23:14:37

降参 お二方とも詳しい解説助かりますm(__)m
しかし答えは(1)1/4≦a≦1/2(2)1/6≦a≦1≦2となっています(泣)お二方のやり方を見て計算を自分なりにしていってなんとか答えにたどり着くようにします!
それでも分からなかったらもう一度質問するかもしれません(泣)その時はぜひお二方にまた頼みたいですm(__)m
では頑張ります。ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

mon********さん

編集あり2010/3/1121:28:18

1)
f(0)=-|-a|-2a^2+2a
f(1/2)=1/4-a-|(1/2)-a|-2a^2+2a

絶対値の処理をするため
a≦0、0≦a≦1/2、1/2≦a
で場合分けして考えてみてください。

2)
こちらも
x-a≧0
x-a≦0
で場合分けして考えてみてください

※途中までですが
x-a≧0のとき
f(x)=x^2-2ax-x+a-2a^2+2a
=x^2+x(-2a-1)-2a^2+3a
これが
x≧aの範囲でf(x)≧0となる条件を考えると・・・


------------------
>icchaneeyatsukudasaiさん
(2)で【(ⅰ)x<aのとき
f(x)≧0はf(x)=0が重解または実数解をもたないことと同義】
ではないかと思います。

x<aという範囲がありますので、
{f(x)の軸}<aのときf(a)≧0 ------(★)
{f(x)の軸}≧aのときD≦0 ------(☆)
になるかと思います。

----------------------
すみません、(☆)(★)は
{f(x)の軸}<aのときD≦0 ------(★’)
{f(x)の軸}≧aのときf(a)≧0 ------(☆’)
でした。

>crmanchester7さん

|A|=A (A≧0のとき)
|A|=-A (A<0のとき)
これを使って絶対値をはずします。


>icchaneeyatsukudasaiさん
私も同じ答えになりました。

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