ここから本文です

a[1]=3 , a[n+1]=√(2+a[n]) (n=1,2,,,,)で定義される数列を考える。 ①{a[n]}は単...

sno********さん

2010/9/715:21:38

a[1]=3 , a[n+1]=√(2+a[n]) (n=1,2,,,,)で定義される数列を考える。
①{a[n]}は単調減少数列である事を示せ。
②{a[n]}は有界数列である事を示せ。

これの問題について出来るだけ詳しい解説をお願いします。

①の私の考えは、
a[n+1]<a[n]を帰納法を用いて証明する方法です。

②については、上に有界、下に有界を証明できないといけない事はわかるのですが、
どうしたらよいのかわかりません。
出来るだけ詳しい解説をお願いします。

閲覧数:
201
回答数:
2
お礼:
25枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

dog********さん

編集あり2010/9/716:14:49


a[n+1]<a[n]を帰納法で証明します。

n=1のとき、a[2]=√(5)<3=a[1]
なので成立。

n=kのとき、a[k+1]<a[k]と仮定すると、
n=k+1のとき、
a[k+2]=√(2+a[k+1])<√(2+a[k])=a[k+1]
よって、帰納法によりa[n+1]<a[n]が証明された。

a[1]=3 , a[n+1]=√(2+a[n]) より、a[n]>0だから、
a[n+1]/a[n]<1
よって、a[n]は単調減少数列である。


a[n]>0 より、a[n+1]<a[n]の両辺を2乗しても符号の向き
は変わらない。
(a[n+1])^2<(a[n])^2
2+a[n]<a[n]^2
a[n]^2-a[n]-2>0
{a[n]+1}{a[n]-2}>0
a[n]<-1,a[n]>2
a[1]=3、a[n]>0の単調減少だから、
2<a[n]≦3
の有界数列である。

でどうでしょうか。

質問した人からのコメント

2010/9/7 17:52:44

抱きしめる わかりやすい解説ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

wat********さん

編集あり2010/9/716:25:22

②は,①で単調減少であることが示されれば,下に有界であることだけ示せば十分です。それは簡単な話で,a[1]>0であって,a[n]>0ならばa[n+1]>0であることが明らかなので,すべてのnについてa[n]>0だということです。

①はa[n+1]-a[n]=√(2+a[n])-a[n]={(2+a[n])-a[n]^2}/{√(2+a[n])+a[n]}=-(a[n]-2)(a[n]+1)/{√(2+a[n])+a[n]}と変形して,上述したようにa[n]は正なので分母とa[n]+1が正であることがわかるので,a[n]-2>0であることが示されればa[n+1]-a[n]<0が示されます。つまり,数学的帰納法で示すべき事柄はa[n+1]<a[n]ではなく,a[n]>2であることです。
これはa[1]>2であり,a[n]>2であればa[n+1]>√(2+2)=2であることから明らかです。

補足:dogrun609さん,その方がシンプルでいいですね。

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる