ここから本文です

インバースタンジェントtan^(-1)xのマクローリン展開

spi********さん

2010/10/1222:51:21

インバースタンジェントtan^(-1)xのマクローリン展開

インバースタンジェントtan^(-1)xをマクローリン展開すると

x-(x^3/3)+(x^5/5)-(x^7/7)+・・・ となります。また、x=1を代入することで

π/4=1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+・・・ という、よく知られた等式が得られます。

しかし、tan^(-1)xをマクローリン展開するとき、xの範囲は|x|<1のはずです。

π/4=1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+・・・ の右辺が左辺に収束することは示せるのですか?

収束することの証明を教えてください。

閲覧数:
786
回答数:
1

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

k_i********さん

2010/10/1223:45:29

{tan^{-1}(t)} ' =1/(1+t^2)
であり,任意の自然数 n に対し
1/(1+t^2)=1-t^2+t^4-・・・+(-1)^{n}t^{2n}+(-1)^{n+1} t^{2n+2}/(1+t^2)
が成り立つ.これは任意の実数 t に対して成立つことに注意。t について 0 から 1 まで積分することにより
π/4=1-1/3+1/5-・・・+(-1)^{n}/(2n+1)+∫[t=0~1]{(-1)^{n+1} t^{2n+2}/(1+t^2)}dt.
ここで,
|∫[t=0~1]{(-1)^n t^{2n+2}/(1+t^2)}dt|≦∫[t=0~1]t^{2n+2}dt=1/(2n+3).
ゆえに n→∞ のとき ∫[t=0~1]{(-1)^n t^{2n+2}/(1+t^2)}dt→0.

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

あわせて知りたい

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる