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大学数学の問題です。誰かわかる方よろしくお願いします。 (1)関数項級数 n=0Σ∞...

for********さん

2010/11/400:35:17

大学数学の問題です。誰かわかる方よろしくお願いします。

(1)関数項級数 n=0Σ∞ (n + 1)z^n は|z| < 1 上で広義一様収束することを示し, この範囲で定める関数
の形を決定せよ.

(2)関数項級数 n=1Σ∞ sin(nz)/n^2 はz が実数ならば絶対収束し, z が実数でないならば発散することを証明せよ.

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hsm********さん

2010/11/405:43:00

(1)
ダランベールの判定法より明らかに収束半径は1
べき級数は収束半径内で広義一様収束するので、 |z|<1 で収束。

f(z) = Σ (n+1) z^n は広義一様収束する領域内部において項別積分可能

よって、∫ f(z)dz = Σ z^n + C = 1/(1-z) + C

つまり、 f(z) = d/dz {1/(1-z)} = 1/(1-z)^2


(2)
zが実数ならば、 |sin(nz)|≦1

よって、 Σ|sin(nz)/n^2| ≦ Σ 1/n^2 = π^2 /6

したがって、絶対収束。


z=a+bi (b≠0) の場合、

sin(nz) = { exp(inz) - i exp(-inz) } / 2i である。

b>0とする。このとき、十分大きいnに対し、

| sin(nz) |
≧ { e^(nb) -1 }/2

したがって、 Σ sin(nz)/n^2 は、収束の必要条件である

sin(nz)/n^2 → 0 (n→∞)

を満たさない。したがって発散する。

b<0の場合も同様。

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