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【数学・三角比と計量】★お礼100枚★どうしても解けない問題があります!!教えてくだ...

hon********さん

2010/11/721:56:38

【数学・三角比と計量】★お礼100枚★どうしても解けない問題があります!!教えてください(><;)


円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB=3、BC=1、CD=3、DA=4 とするとき、次のものを求めなさい。

(1) A

(2)対角線BDの長さ
(3)四角形ABCDの面積

よろしくお願いいたします(_ _*)

四角形ABCD,三角比,面積,余弦定理,対角線BD,cosA,計量

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ベストアンサーに選ばれた回答

slu********さん

編集あり2010/11/1420:58:17

(2)から答えます
9+16-x^2/24=-(1+9-x^2/6)
25-x^2=-40+4x^2
-5x^2=-65
x^2=13
x=√13
よってBD=√13

(1)BD=√13より
cosA=9+16-13/24
cosA=1/2
よってA=60°

(3)ブルーマグプタの公式(S=√(s-AB)(s-BC)(s-CD)(s-DA)ただしs=AB+BC+CD+DA/2)より
s=11/2
S=√(11/2-3)(11/2-1)(11/2-3)(11/2-4)
S=√5/2×9/2×5/2×3/2
S=√675/16
S=15√3/4

この問題で使った公式
余弦定理
cosA=AB^2+DA^2-BD^2/2×AB×DA
(cosCも図から同様にして求める)

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idl********さん

2010/11/722:26:49

△ABDで余弦定理
x^2=9+16-2*3*4cosA=25-24cosA・・・①
△BCDで余弦定理
x^2=1+9-2*1*3cos(180°-x)=10+6cosA・・・②
①②から 25-24cosA=10+6cosA
これを解いて、cosA=1/2 ∴A=60°

①にcosA=1/2を入れると、x^2=13 ∴x=√13

△ABDの面積=(1/2)*3*4sin60°=3√3
△BCDの面積=(1/2)*1*3sin120°=(3√3)/4
よって、四角形ABCDの面積=3√3+(3√3)/4=(15√3)/4

です。

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