ここから本文です

中2の数学 難問です。

obe********さん

2010/11/2621:17:52

中2の数学 難問です。

中学の数学教師が、授業でこのような問題を出しました。

------
19から80までをそのまま並べ、124桁の整数をつくる(1920212223・・・757677787980)。このとき、これが1980で割りきれることを証明せよ。
------

どうやればよろしゅうございますか?
理解力のない中学生にも分かるよう、簡単に説明してください。

閲覧数:
60,231
回答数:
2

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

eva********さん

2010/11/2622:53:13

○○で割り切れることを証明せよ、と言われたときの考え方は、割る数を分割して考えること。

たとえば、「6で割り切れる数」というのは、「3で割り切れ、2で割り切れる数」のことです。
「3の倍数であり、2の倍数でもある数」といっても良いかも。

「1980で割り切れる数」というのは、
1980=2×2×5×9×11と分割して考えてると、
「4で割り切れ、5でも割り切れ、9でも割り切れ、11でも割り切れる数」になります。

あとは↓を参考に順番に証明していくだけ。
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/times/times.htm

一応証明手順(カッコ内は説明部分、途中式は自分で追加してね)。

1920212223・・・757677787980=Xとする。
Xが1980で割り切れるためには、Xが4,5,19,11のいずれでも割り切れればよい。

Xの下2桁の数は80であり、これは4の倍数。
よってXは4で割り切れる…①

Xの下1桁の数は、0であり、これは5の倍数。
よってXは5で割り切れる…②

Xの各位をすべて足し合わせると、

(普通には計算しきれないので末位から奇数番目と偶数番目を分けて足していきます。)

末位から偶数番目の和(もとの数字で十の位の和)=1 + 2×10 + 3×10 + … +7×10 + 8×1

末位から奇数番目の和(もとの数字で一の位の和)=9+(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)×6+0
(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45を使ってまとめるのがポイント)

十の位の和=1+20+30+40+50+60+70+8=279
一の位の和=9+270=279

Xのすべての位の数の和は、558=9×62 で9の倍数。
よってよってXは9で割り切れる…③

(11の倍数であることの証明は、奇数番目と偶数番目それぞれの和の差を求めなければいけません。でもこれの計算はもう済ませたよね?)
Xの末位から奇数番目の数の和と,偶数番目の数の和の差は、
279-279=0 これは11の倍数である。
よってXは11で割り切れる。…④

①、②、③、④、より、Xは1980で割り切れる。

この質問は投票によってベストアンサーに選ばれました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

one********さん

編集あり2010/11/2622:25:54

1980=4*5*9*11
したがって、(与式)=(4の倍数)∩(5の倍数)∩(9の倍数)∩(11の倍数) を示せばよい。

下二桁:80=4*20⇒4の倍数
下一桁:0⇒5の倍数

9の倍数の証明:各桁の総和が9の倍数
1+9+2+0+2+1+2+2+・・・7+7+7+8+7+9+80
=(1+9)+2*10+(0+1+…9)+3*10+(0+1+…9)+・・・+7*10(0+1+…9)+(8+0)
=10+20+45+30+45+…70+45+8
=45*6+(10+…70)+8
=45*6+10(1+…+7)+8
=270+280+8
=558
=9*62
∴9の倍数

11の倍数の証明:各位を二桁ずつ区切り、その総和が11の倍数
19+20+21+22…77+78+79+80
=(1+…+80)-(1+…+18)
=3240-171
=3069
=11*279
∴11の倍数

以上より主張は示せた。

なお、1+2+…+(n-1)+n=n(n+1)/2 を用いました。
例)1+2+…+80=80(80+1)/2=80*81/2=3240

あわせて知りたい

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる