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累乗、累乗根の大小比

let********さん

2010/12/1222:33:08

累乗、累乗根の大小比

関数y=x^n(x>0,nは自然数)の性質
a>0,b>0のときa<b⇔a^n<b^n
これが成り立つことを証明することは可能ですか??

補足real_z_tigerさん逆の場合も証明してください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

migi-さん

編集あり2010/12/1322:28:00

a<bより
a/b<1
帰納法を使って
(a/b)^n<1を示し
両辺にb^n>0をかければ
a<b⇒a^n<b^n

背理法を用いる
a^n<b^n,a≧bであるとする
a≧bであるとき先ほど示したように
a^n≧b^nであるので
a^n<b^nと矛盾
よって
a^n<b^n⇒a<b

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