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lim[x → +0] x^x = ?

kyo********さん

2010/12/1806:59:40

lim[x → +0] x^x = ?

いくつになるんでしょうか?

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tak********さん

2010/12/2013:12:54

y=x^xと置く。対数をとると、

lny=lnx^x=xlnx=(lnx)/(1/x)

ここでlim[x → +0]lnx=-∞かつlim[x → +0]1/x=∞なので

ロピタルの定理より

lim[x → +0](lnx)/(1/x)=lim[x → +0](1/x)/{-x^(-2)}

=lim[x → +0](-x)=0

すなわち、lim[x → +0]lny=0なのでlim[x → +0]y=1

lim[x → +0]x^x=1

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kji********さん

2010/12/1817:01:29

x^x = e^log(x^x) = e^(x log(x)) = e^(- x log(1/x)) = e^(- log(1/x)/(1/x))

t > 1 のとき、log(t)/t > 0 であり、かつ、
t > 1 のとき、
・ log(t)/t
= log((√t)^2)/(√t)^2
= (2 log(√t))/(√t)^2
= (2/√t) (log(√t)/√t)
< (2/√t) 1 .... (∵一般に、u > 1 のとき、log(u) < u より、log(u)/u < 1)
= 2/√t
だから、
t > 1 のとき、
0 < log(t)/t < 2/√t

挟み撃ちの原理より、
lim[t→∞]0 ≦ lim[t→∞](log(t)/t) ≦ lim[t→∞](2/√t)
だから、
0 ≦ lim[t→∞](log(t)/t) ≦ 0
なので、
lim[t→∞](log(t)/t) = 0

よって、
lim[x→+0](log(1/x)/(1/x)) = 0

したがって、
lim[x→+0](x^x) = e^(- 0) = 1


なお、
u > 1 のとき、log(u) < u である理由は、
y = log(x) のグラフと y = x のグラフを見比べれば明らかですが、
形式的に説明すると、
u = 1 のとき、log(u) - u = log(1) - 1 = -1 < 0 であり、かつ、
u > 1 のとき、d/du (log(u) - u) = 1/u - 1 < 0 (常に減少)より、
u > 1 のとき、log(u) - u < 0 だからです。

kyo********さん

2010/12/1809:01:29

logx^x=xlogx
x^x=e^(xlogx)
logx=-t とおくと x=e^(-t) ,t → ∞ (x → +0)
xlogx=-te^(-t)=-te^(-t/2)*e^(-t/2)
M=max[t>0]te^(-t/2) とすると 0<te^(-t)≦Me^(-t/2) → 0 (t → ∞)

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