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数学の問題です。 pを3より大きい素数とする。自然数a、b、cに対し a+b+c...

aic********さん

2010/12/2318:11:04

数学の問題です。

pを3より大きい素数とする。自然数a、b、cに対し
a+b+c、a^2+b^2+c^2、a^3+b^3+c^3
がそれぞれpの倍数であるとき、a、b、cはすべてpの倍数であることを証明せよ。

よろしくお願いします。
m(__)m

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ベストアンサーに選ばれた回答

e27********さん

編集あり2010/12/2319:49:55

条件より、

a+b+c=kp…(ア)

a^2+b^2+c^2=mp…(イ)

a^3+b^3+c^3=np…(ウ)

(ただし、k,m,nは整数とします。)

(ア)の両辺を2乗して、

a^2+b^2+c^2+2(bc+ca+ab)=k^2p^2

(イ)を代入して、

mp+2(bc+ca+ab)=k^2p^2

bc+ca+ab=p(k^2p-m)/2

a,b,cは、自然数なので、左辺は、自然数であり、

右辺も自然数になります。pは3より大きい素数なので、

(k^2p-m)/2は、自然数です。

簡単のため、(k^2p-m)/2=r(自然数)とおきます。

bc+ca+ab=rp…(エ)

(ウ)より、

(a^3+b^3+c^3-3abc)+3abc=np

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)+3abc=np

kp(mp-rp)+3abc=np

3abc=p{k(rp-mp)+n}

abc=p{k(rp-mp)+n}/3

a,b,cは、自然数なので、左辺は、自然数であり、

右辺も自然数になります。pは3より大きい素数なので、

{k(rp-mp)+n}/3は、自然数です。

{k(rp-mp)+n}/3=s(自然数)とおきます。

abc=sp…(オ)

(ア),(エ),(オ)より、a,b,cは、xの3次方程式

x^3-kpx^2+rpx-sp=0の解になりますね。(^^♪

よって、

a^3-kpa^2+rpa-sp=0

a^3=p(ka^2-ra+s)

ka^2-ra+sは整数なので、右辺はpの倍数です。

よって、左辺のa^3も、pの倍数です。

aはpの倍数です。

同様にして、bもcもpの倍数になります。m(__)m

質問した人からのコメント

2010/12/23 23:45:53

ありがとうございました
(^o^)/

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

ooz********さん

2010/12/2318:48:07

a+b+c、a^2 +b^2 +c^2、a^3 +b^3 +c^3
がpの倍数だから、整数s,t,uを用いて
a+b+c=ps、a^2+b^2+c^2=pt、a^3+b^3+c^3=pu
とかける。

2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2 -(a^2 +b^2 +c^2)=p(ps^2 -t)
3abc=a^3 +b^3 +c^3 -(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)
=p{u-s(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)}
より2(ab+bc+ca)、3abcが素数pで割り切れる。
pは3より大きな素数だからpは2、3と互いに素である

したがってab+bc+ca、abcもpで割り切れる

よって整数v,wを用いてab+bc+ca=pv、abc=pwとかける

a,b,cは三次方程式
x^3 -(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca)x-abc=0の3つの解である
(三次方程式の解と係数との関係)

a^3 -(a+b+c)a^2 +(ab+bc+ca)a -abc=0が成り立つ
a^3=(a+b+c)a^2 -(ab+bc+ca)a +abc=p(sa^2 -va+w)だから
a^3が素数pで割り切れる
pが素数だから、aがpで割り切れる

b^3 -(a+b+c)b^2 +(ab+bc+ca)b -abc=0が成り立つ
b^3=(a+b+c)b^2 -(ab+bc+ca)b +abc=p(sb^2 -vb+w)だから
b^3が素数pで割り切れる
pが素数だから、bがpで割り切れる

c^3 -(a+b+c)c^2 +(ab+bc+ca)c -abc=0が成り立つ
c^3=(a+b+c)c^2 -(ab+bc+ca)c +abc=p(sc^2 -vc+w)だから
c^3が素数pで割り切れる
pが素数だから、cがpで割り切れる

以上よりa,b,cがpで割り切れること証明された。

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