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ベクトル空間の正射影表現行列

gar********さん

2011/1/1413:49:05

ベクトル空間の正射影表現行列

Wが以下の各組のベクトルにより生成される時その表現行列を求めよという問題ですが

Wは

| 1 | |2|
|-4 | と |3|
| 8 | |-6| によって生成されています

これは公式通りにやると

1/√(1+16+64) * (x-4y+8z) * 1/√(1+16+64) * t|1 -4 8| + 1/√(4+9+36) * (2x+3y-6z) *1/√(4+9+36) * t|2 3 -6|

※tは転置行列の記号

でいいと思うのですが解答とは違う値になってしまいます、ただの計算ミスかもしれないですが・・・

ちなみに解答は

| 5 0 0|
|0 1 -2| * 1/5 です1/5はいったいどこから・・・
| 0 -2 4|

ほかに正しい解法があるのでしょうか?よろしくお願いします

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fra********さん

編集あり2011/1/1512:51:12

この問題を作った人に500点!!

部分空間 W への正射影を表す公式はWの基底を正規直交基底に取り直しておく必要があります。与えられた基底を正規直交化すると,たった2本ですが,一見してやる気をなくすような定数が出現します。ここを我慢して更に計算すれば,うんざりさせられるような係数だったものが,魔法のようにすっきり整理できますね。

以下で扱うベクトルはいずれも列ベクトルですが,文中の表記は行ベクトル表記とします(大切な部分は別行で列表示します)。

v_1=(1,-4,8), v_2=(2,3,-6) と置きましょう。これを正規直交化しましょう。
まず u_1=v_1/||v_1|| =(1/9)v_1 = (1/9)・(1,-4,8) です。次に

v_2-(v_2, u_1)・u_1=(2,3,-6)+(58/81)・(1,-4,8)

= (1/81)・(220,11,-22) = (11/81)・(20,1,-2)

このベクトルの長さを1にして

u_2= {v_2-(v_2, u_1)・u_1}/||v_2-(v_2, u_1)・u_1|| =(1/√405)・(20,1,-2)

を得ます。u_1, u_2 が W の正規直交基です。一見変な定数 9, 81, 405 などが出ていますが 81x5=405 です。

部分空間 W への正射影(一次変換です)を P と置きましょう。P を与える公式は

P(x)=(x, u_1)・u_1 + (x, u_2)・u_2

です。変換 P の行列表現 A は,R^3 の標準基を e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) とするとき,

A = [ P(e_1), P(e_2), P(e_3) ]

で与えられます。以下, P(e_1), P(e_2), P(e_3) を順次計算しましょう。


① P(e_1) の計算:

P(e_1) = ((1,0,0), u_1)・u_1 + ((1,0,0), u_2)・u_2

= (1/81)・(1,-4,8) + (20/405)・(20,1,-2)

= (1/405)・{ (5,-20,40) + (400,20,-40) }

= (1,0,0)

列ベクトルなので P(e_1) は

1
0
0

です。



同様の計算で P(e_2) は

0
1/5
-2/5

です。1/81 や 1/405 といった係数はうまく消えてくれます。



P(e_3) は

0
-2/5
4/5

です。


以上から表現行列 A は

1,0,0
0,1/5,-2/5
0,-2/5,4/5

となります。

1/5 を外に出せば A = 1/5 x 次の行列 です。

5, 0, 0
0, 1, -2
0, -2, 4

質問した人からのコメント

2011/1/15 15:41:30

なんとか理解できました

ありがとうございます

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