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数学の問題です。「nを固定する。nCr(r=1,2,3、…)のうち最大になるの...

mat********さん

2011/2/505:05:56

数学の問題です。「nを固定する。nCr(r=1,2,3、…)のうち最大になるのはrがどんなときか。」という問題です。わかる方、解説お願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

c_8********さん

編集あり2011/2/508:27:22

この手の問題は,
nC(r+1) - nCr
nC(r+1)/nCr
のいずれかを計算します.

ここでは後者を使います.

nC(r+1)/nCr

=n!/{(r+1)!(n-r-1)!} ・ r!(n-r)!/n!

=(n-r)/(r+1)

従って
nC(r+1)/nCr≦1
⇔n-r≦r+1
⇔r≧(n-1)/2

nC(r+1)/nCr≧1
⇔n-r≧r+1
⇔r≦(n-1)/2

ということで
r≦(n-1)/2のときnC(r+1)≧nCr
⇒nCrは増え続ける.等号はr=(n-1)/2のみ成り立つ

r≧(n-1)/2のときnC(r+1)≦nCr
⇒nCrは減り続ける.等号はr=(n-1)/2のみ成り立つ

ですが・・・
(n-1)/2はnの偶奇で整数になったりならなかったりするので場合分けです.

nが偶数のとき
(n+1)/2は整数になりませんから
nC1<nC2<・・・<nC(n/2 - 1)<nC(n/2)>nC(n/2 + 1)>…>nCr
ということで最大はr=n/2のときです.

nが奇数のときは(n-1)/2が整数となるので
nC1<nC2<・・・<nC{(n-1)/2}=nC{(n+1)/2}>…>nCr
ということでr=(n-1)/2,(n+1)/2のときに最大となります.

以上より

nが偶数のときはr=n/2
nが奇数のときはr=(n-1)/2,(n+1)/2

で最大値をとることになります.

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

mm_********さん

2011/2/508:33:16

nCr≦nC(r+1)
を解くと、
n!/r!(n-r)!≦n!/(r+1)!(n-r-1)!
1/(n-r)≦1/(r+1)
r+1≦n-r
r≦(n-1)/2
よって、
nが奇数のとき、
nC1<nC2<…<nC{(n-1)/2}=nC{(n+1)/2}>nC{(n+3)/2}>…
nが偶数のとき、
nC1<nC2<…<nC{(n-2)/2}<nC(n/2)>nC{(n+2)/2}>…
よって、nCrは
nが奇数のとき、
r=(n-1)/2、(n+1)/2で最大値をとる。
nが偶数のとき、
r=n/2で最大値をとる。

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