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f(x,y)のx=1、y=0におけるテイラー展開を3次の項まで求めよ。 f(x,y)=arctan(y...

col********さん

2011/2/702:27:12

f(x,y)のx=1、y=0におけるテイラー展開を3次の項まで求めよ。
f(x,y)=arctan(y/x)

という問題について解いていただきたいです。

∂f/∂x=(-y)/(x^2+y^2)
∂f/∂y=x/(x^2+y^2)
∂^2f/∂x^2=2xy(x^2+y^2)^-2
∂^2f/∂x∂y=(x^2+y^2)^-1-2x^2(x^2+y^2)^-2
∂^2f/∂y^2=-2xy(x^2+y^2)^-2
∂^3f/∂x^3=2y(x^2+y^2)^-2-8x^2y(x^2+y^2)^-3
∂^3f/∂x^2∂y=2x(x^2+y^2)^-2-8xy^2(x^2+y^2)^-3
∂^3f/∂x∂y^2=-2y(x^2+y^2)^-2+8x^2y(x^2+y^2)^-3
∂^3f/∂y^3=-2x(x^2+y^2)^-2+8xy^2(x^2+y^2)^-3

必要だと思われる微分の式は求めましたが、これらをどう使うかよくわからないままです。教えていただける方いませんか。

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udu********さん

編集あり2011/2/718:12:35

∂f/∂x=(-y)/(x^2+y^2)
∂f/∂y=x/(x^2+y^2)
∂^2f/∂x^2=2xy(x^2+y^2)^(-2)
∂^2f/∂x∂y=(x^2+y^2)^(-1)-2x^2(x^2+y^2)^(-2)
∂^2f/∂y^2=-2xy(x^2+y^2)^(-2)
∂^3f/∂x^3=2y(x^2+y^2)^(-2)-8x^2y(x^2+y^2)^(-3)
∂^3f/∂x^2∂y=2x(x^2+y^2)^(-2)-8xy^2(x^2+y^2)^(-3)
∂^3f/∂x∂y^2=-2y(x^2+y^2)^(-2)+8x^2y(x^2+y^2)^(-3)
∂^3f/∂y^3=-2x(x^2+y^2)^(-2)+8xy^2(x^2+y^2)^(-3)

それぞれに、x=1,y=0を代入します
(∂f/∂x)(1,0)=0
(∂f/∂y)(1,0)=1
(∂^2f/∂x^2)(1,0)=0
(∂^2f/∂x∂y)(1,0)=-1
(∂^2f/∂y^2)(1,0)=0
(∂^3f/∂x^3)(1,0)=1
(∂^3f/∂x^2∂y)(1,0)=2
(∂^3f/∂x∂y^2)(1,0)=0
(∂^3f/∂y^3)(1,0)=-2

f(x,y)=f(1,0)+[{x*(∂/∂x)+y*(∂/∂y)}f](1,0)
+(1/2!)*[({x*(∂/∂x)+y*(∂/∂y)}^2)f](1,0)
+(1/3!)*[({x*(∂/∂x)+y*(∂/∂y)}^3)f](1,0)

あとは、上の式に代入すれば解けます


({x*(∂/∂x)+y*(∂/∂y)}^2)f
=(x^2)*(∂^2f/∂x^2)+(2xy)*(∂^2f/∂x∂y)+(y^2)*(∂^2f/∂y^2)

({x*(∂/∂x)+y*(∂/∂y)}^3)f
=(x^3)*(∂^3f/∂x^3)+(3(x^2)y)*(∂^3f/∂x^2∂y)
+(3x(y^2))*(∂^3f/∂x∂y^2)+(y^3)*(∂^3f/∂y^3)

質問した人からのコメント

2011/2/8 04:58:04

感謝 回答していただき、ありがとうございました。

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